Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích bằng 2. Gọi $M, N$ lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh $A{A}'$ và $B{B}'$ sao cho $M$ là trung điểm của $A{A}'$ và ${B}'N=\dfrac{2}{3}B{B}'$. Đường thẳng $CM$ cắt đường thẳng ${A}'{C}'$ tại $P$ và đường thẳng $CN$ cắt đường thẳng ${B}'{C}'$ tại $Q$. Biết thể tích khối đa diện lồi ${A}'MP{B}'NQ$ bằng $\dfrac{a}{b}$ (với $a, b\in \mathbb{N}; a, b$ nguyên tố cùng nhau). Tính $a+2b$.
A. $14$.
B. $31$.
C. $41$.
D. $32$.
+/ Ta có: $\dfrac{{{S}_{ABNM}}}{{{S}_{{A}'{B}'NM}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left( BN+AM \right)d\left( A{A}',B{B}' \right)}{\dfrac{1}{2}\left( {B}'N+{A}'M \right)d\left( A{A}',B{B}' \right)}=\dfrac{\dfrac{1}{3}B{B}'+\dfrac{1}{2}A{A}'}{\dfrac{2}{3}B{B}'+\dfrac{1}{2}A{A}'}=\dfrac{5}{7}$
$\Rightarrow {{V}_{C.{A}'{B}'NM}}=\dfrac{7}{5}{{V}_{C.ABNM}}$
$\Rightarrow {{V}_{C.{A}'{B}'NM}}=\dfrac{7}{12}{{V}_{C.AB{B}'{A}'}}=\dfrac{7}{12}.\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{7}{18}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$
$\Rightarrow {{V}_{MNC{A}'{B}'{C}'}}={{V}_{C.{A}'{B}'NM}}+{{V}_{C.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{7}{18}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}+\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{13}{18}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{13}{9}$.
+/ Do $M$ là trung điểm của $A{A}'$ nên ${A}'$ là trung điểm của $P{C}'$
Lại có: $\dfrac{{B}'Q}{BC}=\dfrac{{B}'N}{BN}=2\Rightarrow {B}'Q=2BC=2{B}'{C}'$
$\dfrac{{{V}_{C.{A}'{B}'{C}'}}}{{{V}_{C.PQ{C}'}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}.d\left( C,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)}{\dfrac{1}{3}{{S}_{PQ{C}'}}.d\left( C,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)}=\dfrac{{B}'{C}'.d\left( {A}',{B}'{C}' \right)}{Q{C}'.d\left( P,Q{C}' \right)}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$
$\Rightarrow {{V}_{C.PQ{C}'}}=6{{V}_{C.{A}'{B}'{C}'}}=6.\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=4$
Vậy ${{V}_{{A}'MP{B}'NQ}}={{V}_{C.PQ{C}'}}-{{V}_{MNC.{A}'{B}'{C}'}}=4-\dfrac{13}{9}=\dfrac{23}{9}$ $\Rightarrow a=23, b=9\Rightarrow a+2b=41$.
A. $14$.
B. $31$.
C. $41$.
D. $32$.
$\Rightarrow {{V}_{C.{A}'{B}'NM}}=\dfrac{7}{5}{{V}_{C.ABNM}}$
$\Rightarrow {{V}_{C.{A}'{B}'NM}}=\dfrac{7}{12}{{V}_{C.AB{B}'{A}'}}=\dfrac{7}{12}.\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{7}{18}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$
$\Rightarrow {{V}_{MNC{A}'{B}'{C}'}}={{V}_{C.{A}'{B}'NM}}+{{V}_{C.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{7}{18}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}+\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{13}{18}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{13}{9}$.
+/ Do $M$ là trung điểm của $A{A}'$ nên ${A}'$ là trung điểm của $P{C}'$
Lại có: $\dfrac{{B}'Q}{BC}=\dfrac{{B}'N}{BN}=2\Rightarrow {B}'Q=2BC=2{B}'{C}'$
$\dfrac{{{V}_{C.{A}'{B}'{C}'}}}{{{V}_{C.PQ{C}'}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}.d\left( C,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)}{\dfrac{1}{3}{{S}_{PQ{C}'}}.d\left( C,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)}=\dfrac{{B}'{C}'.d\left( {A}',{B}'{C}' \right)}{Q{C}'.d\left( P,Q{C}' \right)}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$
$\Rightarrow {{V}_{C.PQ{C}'}}=6{{V}_{C.{A}'{B}'{C}'}}=6.\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=4$
Vậy ${{V}_{{A}'MP{B}'NQ}}={{V}_{C.PQ{C}'}}-{{V}_{MNC.{A}'{B}'{C}'}}=4-\dfrac{13}{9}=\dfrac{23}{9}$ $\Rightarrow a=23, b=9\Rightarrow a+2b=41$.
Đáp án C.