Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của ${B}'$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên $B{B}'$ hợp với đáy $\left( ABC \right)$ góc 60°. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ là
A. $\dfrac{3a}{2\sqrt{13}}$.
B. $\dfrac{a}{\sqrt{13}}$.
C. $\dfrac{2a}{\sqrt{13}}$.
D. $\dfrac{3a}{\sqrt{13}}$.
Ta có ${B}'G\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( \widehat{B{B}',\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{B{B}',BG} \right)=\widehat{{B}'BG}$.
Theo giả thiết ta có $\widehat{{B}'BG}=60{}^\circ $.
Gọi M là trung điểm BC. Kẻ $AH\bot {B}'M$, $H\in {B}'M$.
$\Rightarrow AM\bot BC$. Mà
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot {B}'G \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( A{B}'M \right)\Rightarrow BC\bot AH$
+) $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot {B}'M \\
& AH\bot BC \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow AH\bot \left( BC{C}'{B}' \right)\Rightarrow d\left( A,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=AH$
+) $\Delta ABC$ đều cạnh a nên ta có $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, $BG=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$, $GM=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
+) ${B}'G=GB.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}=a$
+) ${B}'M=\sqrt{{B}'{{G}^{2}}+G{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{39}}{6}$
+) ${B}'G.AM=AH.{B}'M\Rightarrow AH=\dfrac{{B}'G.AM}{{B}'M}=\dfrac{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{39}}{6}}=\dfrac{3a}{\sqrt{13}}$
Vậy $d\left( A,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=AH=\dfrac{3a}{\sqrt{13}}$.
A. $\dfrac{3a}{2\sqrt{13}}$.
B. $\dfrac{a}{\sqrt{13}}$.
C. $\dfrac{2a}{\sqrt{13}}$.
D. $\dfrac{3a}{\sqrt{13}}$.
Ta có ${B}'G\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( \widehat{B{B}',\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{B{B}',BG} \right)=\widehat{{B}'BG}$.
Theo giả thiết ta có $\widehat{{B}'BG}=60{}^\circ $.
Gọi M là trung điểm BC. Kẻ $AH\bot {B}'M$, $H\in {B}'M$.
$\Rightarrow AM\bot BC$. Mà
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot {B}'G \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( A{B}'M \right)\Rightarrow BC\bot AH$
+) $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot {B}'M \\
& AH\bot BC \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow AH\bot \left( BC{C}'{B}' \right)\Rightarrow d\left( A,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=AH$
+) $\Delta ABC$ đều cạnh a nên ta có $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, $BG=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$, $GM=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
+) ${B}'G=GB.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}=a$
+) ${B}'M=\sqrt{{B}'{{G}^{2}}+G{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{39}}{6}$
+) ${B}'G.AM=AH.{B}'M\Rightarrow AH=\dfrac{{B}'G.AM}{{B}'M}=\dfrac{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{39}}{6}}=\dfrac{3a}{\sqrt{13}}$
Vậy $d\left( A,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=AH=\dfrac{3a}{\sqrt{13}}$.
Đáp án D.