Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng 4. Hình chiếu vuông góc của ${A}'$ trên mp $\left( ABC \right)$ trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$. Gọi M là trung điểm cạnh AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và ${B}'C$ bằng
A. 2
B. $\sqrt{2}$
C. 1
D. $2\sqrt{2}$
Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC
$\Rightarrow G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có ${A}'G\bot \left( ABC \right)$.
Dựng hình chiếu H của ${B}'$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)\Rightarrow $ Tứ giác ABHG là hình bình hành và $AG=BH=\dfrac{4\sqrt{3}}{3},BH\bot BC$.
Xét tam giác BHC vuông tại B, ta có: $\tan \widehat{BCH}=\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{BCH}=30{}^\circ $
Do đó $\widehat{ACH}=\widehat{ACB}+\widehat{BCH}=90{}^\circ $ hay $AC\bot HC$.
Mà $AC\bot {B}'H$. Do đó: $AC\bot {B}'C$ tại C hay $MC\bot {B}'C$ tại C (1)
Ta lại có $MC\bot BM$ tại M (2)
Từ (1),(2) $\Rightarrow MC$ là đoạn vuông góc chung của BM và ${B}'C$.
Do đó $d\left( BM,{B}'C \right)=MC=2$
A. 2
B. $\sqrt{2}$
C. 1
D. $2\sqrt{2}$
Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC
$\Rightarrow G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có ${A}'G\bot \left( ABC \right)$.
Dựng hình chiếu H của ${B}'$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)\Rightarrow $ Tứ giác ABHG là hình bình hành và $AG=BH=\dfrac{4\sqrt{3}}{3},BH\bot BC$.
Xét tam giác BHC vuông tại B, ta có: $\tan \widehat{BCH}=\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{BCH}=30{}^\circ $
Do đó $\widehat{ACH}=\widehat{ACB}+\widehat{BCH}=90{}^\circ $ hay $AC\bot HC$.
Mà $AC\bot {B}'H$. Do đó: $AC\bot {B}'C$ tại C hay $MC\bot {B}'C$ tại C (1)
Ta lại có $MC\bot BM$ tại M (2)
Từ (1),(2) $\Rightarrow MC$ là đoạn vuông góc chung của BM và ${B}'C$.
Do đó $d\left( BM,{B}'C \right)=MC=2$
Đáp án A.