Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy ABC là tam giác đều có cạnh...

Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC
$\Rightarrow G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có $A^{\prime }G\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$.
Dựng hình chiếu H của $B^{\prime }$ trên mặt phẳng $\left(ABC\right)\Rightarrow$ Tứ giác ABHG là hình bình hành và $AG=BH={\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}},BH\mathrm{\perp }BC$.
Xét tam giác BHC vuông tại B, ta có: $\tan \widehat{BCH}={\displaystyle \frac{BH}{BC}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\Rightarrow \widehat{BCH}=30{}^{\circ }$
Do đó $\widehat{ACH}=\widehat{ACB}+\widehat{BCH}=90{}^{\circ }$ hay $AC\mathrm{\perp }HC$.
Mà $AC\mathrm{\perp }{B}^{\prime }H$. Do đó: $AC\mathrm{\perp }{B}^{\prime }C$ tại C hay $MC\mathrm{\perp }{B}^{\prime }C$ tại C (1)
Ta lại có $MC\mathrm{\perp }BM$ tại M (2)
Từ (1),(2) $\Rightarrow MC$ là đoạn vuông góc chung của BM và $B^{\prime }C$.
Do đó $d(BM,B^{\prime }C)=MC=2$