Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có chiều cao bằng 8 và đây là tam giác đều cạnh bằng 6. Gọi M, N và P lần lượt là tâm của các mặt bên $AB{B}'{A}',AC{C}'{A}'$ và $BC{C}'{B}'.$ Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, M, N, P bằng
A. $27\sqrt{3}.$
B. $21\sqrt{3}.$
C. $30\sqrt{3}.$
D. $36\sqrt{3}.$
Gọi h là chiều cao của hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'.$ Vì $\Delta ABC$ đều có độ dài cạnh bằng 6 nên ${{S}_{\Delta ABC}}={{6}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}.$ Thể tích lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là $V=h.{{S}_{\Delta ABC}}=8.9\sqrt{3}=72\sqrt{3}$
Gọi E là trung điểm cạnh $A{A}'.$
Thể tích khối chóp A.EMN là
${{V}_{A.EMN}}=\dfrac{1}{3}d\left( A,\left( EMN \right) \right).{{S}_{\Delta EMN}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}h.\dfrac{1}{4}{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{24}V$
Thể tích khối đa diện ABCMNP là:
${{V}_{ABCMNP}}=\dfrac{1}{2}V-3{{V}_{A.EMN}}=\dfrac{1}{2}V-3.\dfrac{1}{24}V=\dfrac{3}{8}V=27\sqrt{3}.$
A. $27\sqrt{3}.$
B. $21\sqrt{3}.$
C. $30\sqrt{3}.$
D. $36\sqrt{3}.$
Gọi h là chiều cao của hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'.$ Vì $\Delta ABC$ đều có độ dài cạnh bằng 6 nên ${{S}_{\Delta ABC}}={{6}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}.$ Thể tích lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là $V=h.{{S}_{\Delta ABC}}=8.9\sqrt{3}=72\sqrt{3}$
Gọi E là trung điểm cạnh $A{A}'.$
Thể tích khối chóp A.EMN là
${{V}_{A.EMN}}=\dfrac{1}{3}d\left( A,\left( EMN \right) \right).{{S}_{\Delta EMN}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}h.\dfrac{1}{4}{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{24}V$
Thể tích khối đa diện ABCMNP là:
${{V}_{ABCMNP}}=\dfrac{1}{2}V-3{{V}_{A.EMN}}=\dfrac{1}{2}V-3.\dfrac{1}{24}V=\dfrac{3}{8}V=27\sqrt{3}.$
Đáp án A.