Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có chiều cao bằng 6 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M, N, P lần lượt là tâm các mặt bên $AB{B}'{A}',AC{C}'{A}',BC{C}'{B}'$. Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm $A,B,C,M,N,P$ bằng
A. $9\sqrt{3}$
B. $10\sqrt{3}$
C. $7\sqrt{3}$
D. $12\sqrt{3}$
Gọi DEF là thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (MNP). Dễ chứng minh được $\left( \text{DEF} \right)//\left( ABC \right)$ và D, E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $A{A}',B{B}',C{C}'$ suy ra
${{V}_{ABC.DEF}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{V}{2}=12\sqrt{3}$.
Ta có ${{V}_{ABCPNM}}={{V}_{ABC.DEF}}-{{V}_{ADMN}}-{{V}_{BMPE}}-{{V}_{CPMF}}$
Mặt khác:
${{V}_{ADMN}}={{V}_{BMPE}}={{V}_{CPMF}}=\dfrac{V}{24}\Rightarrow {{V}_{ABCPNM}}=\dfrac{3}{4}{{V}_{ABC.DEF}}=9\sqrt{3}$
A. $9\sqrt{3}$
B. $10\sqrt{3}$
C. $7\sqrt{3}$
D. $12\sqrt{3}$
Gọi DEF là thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (MNP). Dễ chứng minh được $\left( \text{DEF} \right)//\left( ABC \right)$ và D, E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $A{A}',B{B}',C{C}'$ suy ra
${{V}_{ABC.DEF}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{V}{2}=12\sqrt{3}$.
Ta có ${{V}_{ABCPNM}}={{V}_{ABC.DEF}}-{{V}_{ADMN}}-{{V}_{BMPE}}-{{V}_{CPMF}}$
Mặt khác:
${{V}_{ADMN}}={{V}_{BMPE}}={{V}_{CPMF}}=\dfrac{V}{24}\Rightarrow {{V}_{ABCPNM}}=\dfrac{3}{4}{{V}_{ABC.DEF}}=9\sqrt{3}$
Đáp án A.