Cho lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có chiều cao bằng 4 và đáy là tam...

The Knowledge · 17/2/22

Câu hỏi: Cho lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có chiều cao bằng 4 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi

M, N, P

lần lượt là tâm của các mặt bên

A B B^{'} A^{'}, A C C^{'} A^{'}, B C C^{'} B^{'}

. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm

A, B, C, M, N, P

bằng
A.

\frac{14 \sqrt{3}}{3}

B.

8 \sqrt{3}

C.

6 \sqrt{3}

D.

\frac{20 \sqrt{3}}{3}

Ta có

V_{M N P . A B C} = V_{M N P . A^{'} B^{'} C^{'}} = V_{1}; V_{M P A A^{'}} = V_{M N B B^{'}} = V_{N P C C^{'}} = V_{2}

Do đó

2 V_{1} + 3 V_{2} = V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} \Rightarrow V_{1} = \frac{V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} - 3 V_{2}}{2}

Lại có

V_{2} = V_{M P A A^{'}} = \frac{1}{3} d [M; (A A^{'} C^{'} C)] S_{Δ A A^{'} P} = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} d [B; (A A^{'} C^{'} C)] . \frac{1}{4} s_{A A^{'} C^{'} C}

= \frac{1}{8} . \frac{1}{3} d [B; (A A^{'} C^{'} C)] . S_{A A^{'} C^{'} C} = \frac{1}{8} V_{B . A A^{'} C^{'} C} = \frac{1}{8} . \frac{2}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} \Rightarrow V_{2} = \frac{1}{12} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}

Khi đó

V_{1} = \frac{V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} - \frac{1}{4} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}}{2} = \frac{3}{8} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{3}{8} .4 . \frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} = 6 \sqrt{3}

.

Đáp án C.

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có chiều cao bằng 4 và đáy là tam...