Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có chiều cao bằng 4 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi $M,N,P$ lần lượt là tâm của các mặt bên $AB{B}'{A}',AC{C}'{A}',BC{C}'{B}'$. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm $A,B,C,M,N,P$ bằng
A. $\dfrac{14\sqrt{3}}{3}$
B. $8\sqrt{3}$
C. $6\sqrt{3}$
D. $\dfrac{20\sqrt{3}}{3}$
Ta có ${{V}_{MNP.ABC}}={{V}_{MNP.{A}'{B}'{C}'}}={{V}_{1}};{{V}_{MPA{A}'}}={{V}_{MNB{B}'}}={{V}_{NPC{C}'}}={{V}_{2}}$
Do đó $2{{V}_{1}}+3{{V}_{2}}={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}-3{{V}_{2}}}{2}$
Lại có
${{V}_{2}}={{V}_{MPA{A}'}}=\dfrac{1}{3}d\left[ M;\left( A{A}'{C}'C \right) \right]{{S}_{\Delta A{A}'P}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d\left[ B;\left( A{A}'{C}'C \right) \right].\dfrac{1}{4}{{s}_{A{A}'{C}'C}}$
$=\dfrac{1}{8}.\dfrac{1}{3}d\left[ B;\left( A{A}'C'C \right) \right].{{S}_{A{A}'{C}'C}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{B.A{A}'{C}'C}}=\dfrac{1}{8}.\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}\Rightarrow {{V}_{2}}=\dfrac{1}{12}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$
Khi đó ${{V}_{1}}=\dfrac{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}-\dfrac{1}{4}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}{2}=\dfrac{3}{8}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{3}{8}.4.\dfrac{{{4}^{2}}\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}$.
A. $\dfrac{14\sqrt{3}}{3}$
B. $8\sqrt{3}$
C. $6\sqrt{3}$
D. $\dfrac{20\sqrt{3}}{3}$
Ta có ${{V}_{MNP.ABC}}={{V}_{MNP.{A}'{B}'{C}'}}={{V}_{1}};{{V}_{MPA{A}'}}={{V}_{MNB{B}'}}={{V}_{NPC{C}'}}={{V}_{2}}$
Do đó $2{{V}_{1}}+3{{V}_{2}}={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}-3{{V}_{2}}}{2}$
Lại có
${{V}_{2}}={{V}_{MPA{A}'}}=\dfrac{1}{3}d\left[ M;\left( A{A}'{C}'C \right) \right]{{S}_{\Delta A{A}'P}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d\left[ B;\left( A{A}'{C}'C \right) \right].\dfrac{1}{4}{{s}_{A{A}'{C}'C}}$
$=\dfrac{1}{8}.\dfrac{1}{3}d\left[ B;\left( A{A}'C'C \right) \right].{{S}_{A{A}'{C}'C}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{B.A{A}'{C}'C}}=\dfrac{1}{8}.\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}\Rightarrow {{V}_{2}}=\dfrac{1}{12}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$
Khi đó ${{V}_{1}}=\dfrac{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}-\dfrac{1}{4}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}{2}=\dfrac{3}{8}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{3}{8}.4.\dfrac{{{4}^{2}}\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}$.
Đáp án C.