Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác cân tại A, $AB=2a$, $\widehat{BAC}=120{}^\circ $. Hình chiếu vuông góc của ${A}'$ trên $\left( ABC \right)$ trùng với trung điểm của cạnh BC. Thể tích khối chóp ${A}'.B{B}'{C}'C$ là
A. $2{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$.
C. $3{{a}^{3}}$.
D. $4{{a}^{3}}$.
Gọi H là trung điểm của BC.
Xét $\Delta ABC$ có $BH=2a.\sin 60{}^\circ =a\sqrt{3}$, $AH=2a.\cos 60{}^\circ =a$.
Xét ${A}'HA$ vuông tại H có ${A}'H=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Xét khối lăng trụ ${A}'{B}'{C}'.ABC$ có $h={A}'H=a\sqrt{3}$, ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC={{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Suy ra ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=a\sqrt{3}.{{a}^{3}}\sqrt{3}=3{{a}^{3}}$
Suy ra ${{V}_{{A}'.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{a}^{3}}$
Mặt khác ta có ${{V}_{{A}'.BC{B}'{C}'}}={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}-{{V}_{{A}'.ABC}}=3{{a}^{3}}-{{a}^{3}}=2{{a}^{3}}$.
A. $2{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$.
C. $3{{a}^{3}}$.
D. $4{{a}^{3}}$.
Gọi H là trung điểm của BC.
Xét $\Delta ABC$ có $BH=2a.\sin 60{}^\circ =a\sqrt{3}$, $AH=2a.\cos 60{}^\circ =a$.
Xét ${A}'HA$ vuông tại H có ${A}'H=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Xét khối lăng trụ ${A}'{B}'{C}'.ABC$ có $h={A}'H=a\sqrt{3}$, ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC={{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Suy ra ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=a\sqrt{3}.{{a}^{3}}\sqrt{3}=3{{a}^{3}}$
Suy ra ${{V}_{{A}'.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{a}^{3}}$
Mặt khác ta có ${{V}_{{A}'.BC{B}'{C}'}}={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}-{{V}_{{A}'.ABC}}=3{{a}^{3}}-{{a}^{3}}=2{{a}^{3}}$.
Đáp án D.