Cho lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác cân tại A,

A B = 2 a

,

\hat{B A C} = 120^{\circ}

. Hình chiếu vuông góc của

A^{'}

trên

(A B C)

trùng với trung điểm của cạnh BC. Thể tích khối chóp

A^{'} . B B^{'} C^{'} C

là
A.

2 a^{3}

.
B.

\frac{4 a^{3}}{3}

.
C.

3 a^{3}

.
D.

4 a^{3}

.

Gọi H là trung điểm của BC.
Xét

Δ A B C

có

B H = 2 a . \sin 60^{\circ} = a \sqrt{3}

,

A H = 2 a . \cos 60^{\circ} = a

.
Xét

A^{'} H A

vuông tại H có

A^{'} H = \sqrt{{(2 a)}^{2} - a^{2}} = a \sqrt{3}

.
Xét khối lăng trụ

A^{'} B^{'} C^{'} . A B C

có

h = A^{'} H = a \sqrt{3}

,

S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A H . B C = a^{3} \sqrt{3}

.
Suy ra

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = a \sqrt{3} . a^{3} \sqrt{3} = 3 a^{3}

Suy ra

V_{A^{'} . A B C} = \frac{1}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = a^{3}

Mặt khác ta có

V_{A^{'} . B C B^{'} C^{'}} = V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} - V_{A^{'} . A B C} = 3 a^{3} - a^{3} = 2 a^{3}

.

Đáp án D.

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là...