Google
Câu hỏi: Cho khối tứ diện đều $ABCD$ cạnh bằng $a$, $M$ là trung điểm $BD$. Thể tích $V$ của khối chóp $MABC$ bằng bao nhiêu?
A. $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{24}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
C. $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}$
D. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$
Ta có ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$. Vì $M$ là trung điểm $BD$ nên thể tích $V$ của khối chóp $MABC$ bằng nửa thể tích khối chóp $ABCD$. Vậy ${{V}_{MABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
Cách khác:
Gọi $H$ là trung điểm cạnh $BD$, $G$ là trọng tâm của $\Delta ABD$.
Ta có: $AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AG=\dfrac{2}{3}AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Xét $\Delta ACG$ có $CG=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{G}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Do đó: ${{V}_{CABD}}=\dfrac{1}{3}CG.{{S}_{ABD}}=\dfrac{1}{3}CG.\dfrac{1}{2}AB.AD.\sin 60{}^\circ =\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
Mà $\dfrac{{{V}_{CABM}}}{{{V}_{CABD}}}=\dfrac{CM}{CD}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{CABM}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{CABD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
A. $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{24}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
C. $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}$
D. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$
Ta có ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$. Vì $M$ là trung điểm $BD$ nên thể tích $V$ của khối chóp $MABC$ bằng nửa thể tích khối chóp $ABCD$. Vậy ${{V}_{MABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
Cách khác:
Gọi $H$ là trung điểm cạnh $BD$, $G$ là trọng tâm của $\Delta ABD$.
Ta có: $AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AG=\dfrac{2}{3}AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Xét $\Delta ACG$ có $CG=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{G}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Do đó: ${{V}_{CABD}}=\dfrac{1}{3}CG.{{S}_{ABD}}=\dfrac{1}{3}CG.\dfrac{1}{2}AB.AD.\sin 60{}^\circ =\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
Mà $\dfrac{{{V}_{CABM}}}{{{V}_{CABD}}}=\dfrac{CM}{CD}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{CABM}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{CABD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
Đáp án A.