Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi M, N là trung điểm các...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, BC và E là điểm thuộc tia đối DB sao cho

\frac{B D}{B E} = k

. Biết rằng mặt phẳng

(M N E)

chia khối tứ diện thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh B có thể tích là

\frac{11 \sqrt{2} a^{3}}{294}

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

k < 2

.
B.

0 < k < 2

.
C.

3 < k < 5

.
D.

4 < k < 6

.

Ta có diện tích khối tứ diện đều cạnh a bằng

V_{0} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}

.
Theo Ta-let ta có:

\frac{E P}{E N} = \frac{E Q}{E M} = \frac{k - 1}{k - 1 + \frac{1}{2}} = \frac{2 (k - 1)}{2 k - 1}

\Rightarrow V_{E D P Q} = \frac{E P}{E N} . \frac{E Q}{E M} . \frac{D E}{B E} V_{B M Q E} = \frac{4 {(k - 1)}^{2}}{{(2 k - 1)}^{2}} . \frac{k - 1}{k} \frac{1}{4} V_{0}

Do đó

V_{B M N P Q D} = \frac{k}{4} V_{0} - \frac{4 {(k - 1)}^{2}}{{(2 k - 1)}^{2}} . \frac{k - 1}{k} \frac{1}{4} V_{0} = \frac{k}{4} V_{0} . [1 - \frac{4 {(k - 1)}^{3}}{k {(2 k - 1)}^{2}}]

V_{B M N P Q D} = \frac{22}{49} V_{0}

hay

\frac{k}{4} V_{0} = \frac{k}{4} V_{0} . [1 - \frac{4 {(k - 1)}^{3}}{k {(2 k - 1)}^{2}}] \Leftrightarrow k = 4

.

Đáp án C.