Google
Câu hỏi: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, BC và E là điểm thuộc tia đối DB sao cho $\dfrac{BD}{BE}=k$. Biết rằng mặt phẳng $\left( MNE \right)$ chia khối tứ diện thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh B có thể tích là $\dfrac{11\sqrt{2}{{a}^{3}}}{294}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $k<2$.
B. $0<k<2$.
C. $3<k<5$.
D. $4<k<6$.
Ta có diện tích khối tứ diện đều cạnh a bằng ${{V}_{0}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
Theo Ta-let ta có: $\dfrac{EP}{EN}=\dfrac{EQ}{EM}=\dfrac{k-1}{k-1+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2\left( k-1 \right)}{2k-1}$
$\Rightarrow {{V}_{EDPQ}}=\dfrac{EP}{EN}.\dfrac{EQ}{EM}.\dfrac{DE}{BE}{{V}_{BMQE}}=\dfrac{4{{\left( k-1 \right)}^{2}}}{{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}}.\dfrac{k-1}{k}\dfrac{1}{4}{{V}_{0}}$
Do đó ${{V}_{BMNPQD}}=\dfrac{k}{4}{{V}_{0}}-\dfrac{4{{\left( k-1 \right)}^{2}}}{{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}}.\dfrac{k-1}{k}\dfrac{1}{4}{{V}_{0}}=\dfrac{k}{4}{{V}_{0}}.\left[ 1-\dfrac{4{{\left( k-1 \right)}^{3}}}{k{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}} \right]$
${{V}_{BMNPQD}}=\dfrac{22}{49}{{V}_{0}}$ hay $\dfrac{k}{4}{{V}_{0}}=\dfrac{k}{4}{{V}_{0}}.\left[ 1-\dfrac{4{{\left( k-1 \right)}^{3}}}{k{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}} \right]\Leftrightarrow k=4$.
A. $k<2$.
B. $0<k<2$.
C. $3<k<5$.
D. $4<k<6$.
Ta có diện tích khối tứ diện đều cạnh a bằng ${{V}_{0}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
Theo Ta-let ta có: $\dfrac{EP}{EN}=\dfrac{EQ}{EM}=\dfrac{k-1}{k-1+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2\left( k-1 \right)}{2k-1}$
$\Rightarrow {{V}_{EDPQ}}=\dfrac{EP}{EN}.\dfrac{EQ}{EM}.\dfrac{DE}{BE}{{V}_{BMQE}}=\dfrac{4{{\left( k-1 \right)}^{2}}}{{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}}.\dfrac{k-1}{k}\dfrac{1}{4}{{V}_{0}}$
Do đó ${{V}_{BMNPQD}}=\dfrac{k}{4}{{V}_{0}}-\dfrac{4{{\left( k-1 \right)}^{2}}}{{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}}.\dfrac{k-1}{k}\dfrac{1}{4}{{V}_{0}}=\dfrac{k}{4}{{V}_{0}}.\left[ 1-\dfrac{4{{\left( k-1 \right)}^{3}}}{k{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}} \right]$
${{V}_{BMNPQD}}=\dfrac{22}{49}{{V}_{0}}$ hay $\dfrac{k}{4}{{V}_{0}}=\dfrac{k}{4}{{V}_{0}}.\left[ 1-\dfrac{4{{\left( k-1 \right)}^{3}}}{k{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}} \right]\Leftrightarrow k=4$.
Đáp án C.