Google
Câu hỏi: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích $V=\dfrac{1}{6}$, góc $\widehat{ACB}=45{}^\circ $ và $AD+BC+\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=3$. Hỏi độ dài cạnh CD?
A. $2\sqrt{3}$.
B. $\sqrt{3}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. 2.
Ta có: $V=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.d\left( D,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.CA.CB.\sin 45{}^\circ .d\left( D,\left( ABC \right) \right)$
$=\dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{\sqrt{2}}CA.CB.d\left( D,\left( ABC \right) \right)\le \dfrac{1}{6}.\dfrac{CA.CB.AD}{\sqrt{2}}$ $\left( 1 \right)$.
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương AD, BC, $\dfrac{AC}{\sqrt{2}}$, ta có $\dfrac{AC}{\sqrt{2}}.BC.AD\le {{\left( \dfrac{\dfrac{AC}{\sqrt{2}}+BC+AD}{3} \right)}^{3}}$
Do đó $V\le \dfrac{1}{6}.{{\left( \dfrac{\dfrac{AC}{\sqrt{2}}+BC+AD}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{6}$ $\left( 2 \right)$.
Mặt khác ta có $V=\dfrac{1}{6}$ do đó để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, đẳng thức phải xảy ra, tức là $\left\{ \begin{aligned}
& DA\bot \left( ABC \right) \\
& \dfrac{AC}{\sqrt{2}}=BC=AD=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& CD=\sqrt{A{{C}^{2}}+D{{A}^{2}}} \\
& BC=1,AD=1,AC=\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD=\sqrt{3}$.
A. $2\sqrt{3}$.
B. $\sqrt{3}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. 2.
Ta có: $V=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.d\left( D,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.CA.CB.\sin 45{}^\circ .d\left( D,\left( ABC \right) \right)$
$=\dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{\sqrt{2}}CA.CB.d\left( D,\left( ABC \right) \right)\le \dfrac{1}{6}.\dfrac{CA.CB.AD}{\sqrt{2}}$ $\left( 1 \right)$.
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương AD, BC, $\dfrac{AC}{\sqrt{2}}$, ta có $\dfrac{AC}{\sqrt{2}}.BC.AD\le {{\left( \dfrac{\dfrac{AC}{\sqrt{2}}+BC+AD}{3} \right)}^{3}}$
Do đó $V\le \dfrac{1}{6}.{{\left( \dfrac{\dfrac{AC}{\sqrt{2}}+BC+AD}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{6}$ $\left( 2 \right)$.
Mặt khác ta có $V=\dfrac{1}{6}$ do đó để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, đẳng thức phải xảy ra, tức là $\left\{ \begin{aligned}
& DA\bot \left( ABC \right) \\
& \dfrac{AC}{\sqrt{2}}=BC=AD=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& CD=\sqrt{A{{C}^{2}}+D{{A}^{2}}} \\
& BC=1,AD=1,AC=\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD=\sqrt{3}$.
Đáp án B.