Cho khối tứ diện ABCD có thể tích $V = \frac{1}{6}$ , góc...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích

V = \frac{1}{6}

, góc

\hat{A C B} = 45^{\circ}

và

A D + B C + \frac{A C}{\sqrt{2}} = 3

. Hỏi độ dài cạnh CD?
A.

2 \sqrt{3}

.
B.

\sqrt{3}

.
C.

\sqrt{2}

.
D. 2.

Ta có:

V = \frac{1}{3} . S_{A B C} . d (D, (A B C)) = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} . C A . C B . \sin 45^{\circ} . d (D, (A B C))

= \frac{1}{6} . \frac{1}{\sqrt{2}} C A . C B . d (D, (A B C)) \leq \frac{1}{6} . \frac{C A . C B . A D}{\sqrt{2}}

(1)

.
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương AD, BC,

\frac{A C}{\sqrt{2}}

, ta có

\frac{A C}{\sqrt{2}} . B C . A D \leq {(\frac{\frac{A C}{\sqrt{2}} + B C + A D}{3})}^{3}

Do đó

V \leq \frac{1}{6} . {(\frac{\frac{A C}{\sqrt{2}} + B C + A D}{3})}^{3} = \frac{1}{6}

(2)

.
Mặt khác ta có

V = \frac{1}{6}

do đó để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì từ

(1)

và

(2)

, đẳng thức phải xảy ra, tức là

{\begin{aligned} D A ⊥ (A B C) \\ \frac{A C}{\sqrt{2}} = B C = A D = 1 \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} C D = \sqrt{A C^{2} + D A^{2}} \\ B C = 1, A D = 1, A C = \sqrt{2} \end{aligned} \Rightarrow C D = \sqrt{3}

.

Đáp án B.

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V=16, góc...