Google
Câu hỏi: Cho khối tứ diện $ABCD$ có thể tích $2020$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC$, $ABD$, $ACD$, $BCD$. Tính theo $V$ thể tích của khối tứ diện $MNPQ$.
A. $\dfrac{2020}{9}$.
B. $\dfrac{4034}{81}$.
C. $\dfrac{8068}{27}$.
D. $\dfrac{2020}{27}$.
$\dfrac{{{V}_{AEFG}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{{{S}_{EFG}}}{{{S}_{BCD}}}=\dfrac{1}{4}$ $\Rightarrow {{V}_{AEFG}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{ABCD}}$
( Do $E$, $F$, $G$ lần lượt là trung điểm của $BC,$ $BD,$ $CD$ ).
$\dfrac{{{V}_{AMNP}}}{{{V}_{AEFG}}}=\dfrac{SM}{SE}.\dfrac{SN}{SE}.\dfrac{SP}{SG}=\dfrac{8}{27}$ $\Rightarrow {{V}_{AMNP}}=\dfrac{8}{27}{{V}_{AEFG}}=\dfrac{8}{27}.\dfrac{1}{4}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{2}{27}{{V}_{ABCD}}$
Do mặt phẳng $\left( MNP \right)\text{//}\left( BCD \right)$ nên $\dfrac{{{V}_{QMNP}}}{{{V}_{AMNP}}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{V}_{QMNP}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{AMNP}}$
${{V}_{QMNP}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{27}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{27}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{2017}{27}$.
A. $\dfrac{2020}{9}$.
B. $\dfrac{4034}{81}$.
C. $\dfrac{8068}{27}$.
D. $\dfrac{2020}{27}$.
$\dfrac{{{V}_{AEFG}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{{{S}_{EFG}}}{{{S}_{BCD}}}=\dfrac{1}{4}$ $\Rightarrow {{V}_{AEFG}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{ABCD}}$
( Do $E$, $F$, $G$ lần lượt là trung điểm của $BC,$ $BD,$ $CD$ ).
$\dfrac{{{V}_{AMNP}}}{{{V}_{AEFG}}}=\dfrac{SM}{SE}.\dfrac{SN}{SE}.\dfrac{SP}{SG}=\dfrac{8}{27}$ $\Rightarrow {{V}_{AMNP}}=\dfrac{8}{27}{{V}_{AEFG}}=\dfrac{8}{27}.\dfrac{1}{4}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{2}{27}{{V}_{ABCD}}$
Do mặt phẳng $\left( MNP \right)\text{//}\left( BCD \right)$ nên $\dfrac{{{V}_{QMNP}}}{{{V}_{AMNP}}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{V}_{QMNP}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{AMNP}}$
${{V}_{QMNP}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{27}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{27}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{2017}{27}$.
Đáp án D.