Google
Câu hỏi: Cho khối trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác vuông cân với cạnh huyền $AB=\sqrt{2}.$ Mặt phẳng $\left( A{A}'B \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$, $A{A}'=\sqrt{3},$ góc ${A}'AB$ nhọn và mặt phẳng $\left( {A}'AC \right)$ tạo với $\left( ABC \right)$ một góc ${{60}^{0}}.$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$
B. $\dfrac{3\sqrt{5}}{10}.$
C. $\dfrac{3\sqrt{11}}{22}$
D. $\dfrac{3\sqrt{5}}{30}$
B. $\dfrac{3\sqrt{5}}{10}.$
C. $\dfrac{3\sqrt{11}}{22}$
D. $\dfrac{3\sqrt{5}}{30}$
Hạ ${A}'K\bot AB$ (với $K\in AB)$ thì ${A}'K\bot \left( ABC \right).$ Vì $\widehat{{A}'AB}$ nhọn $\Rightarrow K$ thuộc tia $AB$
Kẻ $KM\bot AC$ thì ${A}'M\bot AC$ (định lí ba đường vuông góc), do đó $\widehat{{A}'MK}={{60}^{0}}$
Đặt ${A}'K=x,$ ta có $AK=\sqrt{{A}'{{A}^{2}}-{A}'{{K}^{2}}}=\sqrt{3-{{x}^{2}}}$
Lại có $MK=AK.\sin \widehat{KAM}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3-{{x}^{2}}}$ mà $MK={A}'K.\cot {{60}^{0}}=\dfrac{x}{\sqrt{3}}$
Suy ra $\dfrac{\sqrt{2\left( 3-{{x}^{2}} \right)}}{2}=\dfrac{x}{\sqrt{3}}\Rightarrow x=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}.$ Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'K.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{10}.$
Kẻ $KM\bot AC$ thì ${A}'M\bot AC$ (định lí ba đường vuông góc), do đó $\widehat{{A}'MK}={{60}^{0}}$
Đặt ${A}'K=x,$ ta có $AK=\sqrt{{A}'{{A}^{2}}-{A}'{{K}^{2}}}=\sqrt{3-{{x}^{2}}}$
Lại có $MK=AK.\sin \widehat{KAM}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3-{{x}^{2}}}$ mà $MK={A}'K.\cot {{60}^{0}}=\dfrac{x}{\sqrt{3}}$
Suy ra $\dfrac{\sqrt{2\left( 3-{{x}^{2}} \right)}}{2}=\dfrac{x}{\sqrt{3}}\Rightarrow x=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}.$ Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'K.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{10}.$
Đáp án B.