Google
Câu hỏi: Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn $\left( O;R \right)$ và $\left( {O}';R \right)$, $O{O}'=4R$. Trên đường tròn $\left( O;R \right)$ lấy hai điểm $A,B$ sao cho $AB=R\sqrt{3}$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A,B$ cắt $O{O}'$ và tạo với đáy một góc bằng $60{}^\circ $. $\left( P \right)$ cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của hình elip. Diện tích thiết diện đó bằng
A. $\left( \dfrac{4\pi }{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right){{R}^{2}}$.
B. $\left( \dfrac{2\pi }{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right){{R}^{2}}$.
C. $\left( \dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right){{R}^{2}}$.
D. $\left( \dfrac{4\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right){{R}^{2}}$.
Ta có $\cos \widehat{AOB}=\dfrac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2.OA.OB}=-\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \widehat{AOB}=120{}^\circ \Rightarrow OH=\dfrac{R}{2}$.
Chọn hệ trục như hình vẽ bên Phương trình đường tròn đáy là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$.
Hình chiếu của phần elip xuống đáy là miền sọc xanh như hình vẽ.
Ta có $S=2\int\limits_{-\dfrac{R}{2}}^{R}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}dx}$.
Đặt $x=R.\sin t\Rightarrow S=\left( \dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right){{R}^{2}}$. Gọi diện tích phần elip cần tính là ${S}'$.
Theo công thức hình chiếu, ta có ${S}'=\dfrac{S}{\cos 60{}^\circ }=2S=\left( \dfrac{4\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right){{R}^{2}}$.
Chú ý: Nếu đa giác $\left( H \right)$ trong mặt phẳng $\left( P \right)$ có diện tích $S$, đa giác $\left( {{H}'} \right)$ nằm trong mặt phẳng là hình chiếu vuông góc của $\left( H \right)$ có diện tích ${S}'$, $\varphi $ là góc giữa $\left( P \right),\left( {{P}'} \right)$ thì ${S}'=S.\cos \varphi $.
A. $\left( \dfrac{4\pi }{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right){{R}^{2}}$.
B. $\left( \dfrac{2\pi }{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right){{R}^{2}}$.
C. $\left( \dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right){{R}^{2}}$.
D. $\left( \dfrac{4\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right){{R}^{2}}$.
Ta có $\cos \widehat{AOB}=\dfrac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2.OA.OB}=-\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \widehat{AOB}=120{}^\circ \Rightarrow OH=\dfrac{R}{2}$.
Chọn hệ trục như hình vẽ bên Phương trình đường tròn đáy là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$.
Hình chiếu của phần elip xuống đáy là miền sọc xanh như hình vẽ.
Ta có $S=2\int\limits_{-\dfrac{R}{2}}^{R}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}dx}$.
Đặt $x=R.\sin t\Rightarrow S=\left( \dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right){{R}^{2}}$. Gọi diện tích phần elip cần tính là ${S}'$.
Theo công thức hình chiếu, ta có ${S}'=\dfrac{S}{\cos 60{}^\circ }=2S=\left( \dfrac{4\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right){{R}^{2}}$.
Chú ý: Nếu đa giác $\left( H \right)$ trong mặt phẳng $\left( P \right)$ có diện tích $S$, đa giác $\left( {{H}'} \right)$ nằm trong mặt phẳng là hình chiếu vuông góc của $\left( H \right)$ có diện tích ${S}'$, $\varphi $ là góc giữa $\left( P \right),\left( {{P}'} \right)$ thì ${S}'=S.\cos \varphi $.
Đáp án D.