Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn $(O; R)$ và...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn

(O; R)

và

(O^{'}; R)

,

O O^{'} = 4 R

. Trên đường tròn

(O; R)

lấy hai điểm

A, B

sao cho

A B = R \sqrt{3}

. Mặt phẳng

(P)

đi qua

A, B

cắt

O O^{'}

và tạo với đáy một góc bằng

60^{\circ}

.

(P)

cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của hình elip. Diện tích thiết diện đó bằng
A.

(\frac{4 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) R^{2}

.
B.

(\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}) R^{2}

.
C.

(\frac{2 π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}) R^{2}

.
D.

(\frac{4 π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) R^{2}

.

Ta có

\cos \hat{A O B} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B} = - \frac{1}{2}

\Rightarrow \hat{A O B} = 120^{\circ} \Rightarrow O H = \frac{R}{2}

.
Chọn hệ trục như hình vẽ bên Phương trình đường tròn đáy là

x^{2} + y^{2} = R^{2} \Leftrightarrow y = \pm \sqrt{R^{2} - x^{2}}

.
Hình chiếu của phần elip xuống đáy là miền sọc xanh như hình vẽ.
Ta có

S = 2 \int_{- \frac{R}{2}}^{R} \sqrt{R^{2} - r^{2}} d x

.
Đặt

x = R . \sin t \Rightarrow S = (\frac{2 π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}) R^{2}

. Gọi diện tích phần elip cần tính là

S^{'}

.
Theo công thức hình chiếu, ta có

S^{'} = \frac{S}{\cos 60^{\circ}} = 2 S = (\frac{4 π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) R^{2}

.

Chú ý: Nếu đa giác $(H)$ trong mặt phẳng $(P)$ có diện tích $S$ , đa giác $(H^{'})$ nằm trong mặt phẳng là hình chiếu vuông góc của $(H)$ có diện tích $S^{'}$ , $φ$ là góc giữa $(P), (P^{'})$ thì $S^{'} = S . \cos φ$ .

Đáp án D.

Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn $(O; R)$ và...

Quảng cáo

Thống kê diễn đàn

Share this page

Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn (O;R) và...

Quảng cáo

Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn $(O; R)$ và...