Google
Câu hỏi: Cho khối trụ có đáy là các đường tròn tâm $(O),({O}')$ có bán kính là R và chiều cao $h=R\sqrt{2}$. Gọi A, B lần lượt là các điểm thuộc $(O)$ và $({O}')$ sao cho OA vuông góc với ${O}'B$. Tỉ số thể tích của khối tứ diện $O{O}'AB$ với thể tích khối trụ là:
A. $\dfrac{2}{3\pi }$
B. $\dfrac{1}{3\pi }$
C. $\dfrac{1}{6\pi }$
D. $\dfrac{1}{4\pi }$
Thể tích khối trụ ${{V}_{1}}=\pi {{R}^{2}}h=\pi {{R}^{2}}.R\sqrt{2}=\pi {{R}^{3}}\sqrt{2}$.
Khối tứ diện $B{O}'OA$ có $B{O}'$ là đường cao và đáy là tam giác vuông ${O}'OA$, do đó thể tích khối tứ diện là
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{{O}'OA}}.{O}'B=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.OA.O{O}'.{O}'B=\dfrac{1}{6}R.R\sqrt{2}.R=\dfrac{\sqrt{2}}{6}{{R}^{3}}$.
Vậy $\dfrac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\dfrac{{{R}^{3}}\sqrt{2}}{6}.\dfrac{1}{\pi {{R}^{3}}\sqrt{2}}=\dfrac{1}{6\pi }$.
A. $\dfrac{2}{3\pi }$
B. $\dfrac{1}{3\pi }$
C. $\dfrac{1}{6\pi }$
D. $\dfrac{1}{4\pi }$
Thể tích khối trụ ${{V}_{1}}=\pi {{R}^{2}}h=\pi {{R}^{2}}.R\sqrt{2}=\pi {{R}^{3}}\sqrt{2}$.
Khối tứ diện $B{O}'OA$ có $B{O}'$ là đường cao và đáy là tam giác vuông ${O}'OA$, do đó thể tích khối tứ diện là
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{{O}'OA}}.{O}'B=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.OA.O{O}'.{O}'B=\dfrac{1}{6}R.R\sqrt{2}.R=\dfrac{\sqrt{2}}{6}{{R}^{3}}$.
Vậy $\dfrac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\dfrac{{{R}^{3}}\sqrt{2}}{6}.\dfrac{1}{\pi {{R}^{3}}\sqrt{2}}=\dfrac{1}{6\pi }$.
Đáp án C.