Google
Câu hỏi: Cho khối trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng $9$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm nằm trên các cạnh $AA',BB'$ sao cho $M$ là trung điểm của cạnh $AA'$ và $NB=3NB'$. Đường thẳng $CM$ cắt đường thẳng $A'C'$ tại $P$, đường thẳng $CN$ cắt đường thẳng $B'C'$ tại $Q$ (tham khảo hình vẽ).
Thể tíc khối đa diện $A'MP.B'NQ$ bằng
A. $\dfrac{11}{4}$.
B. $\dfrac{17}{4}$.
C. $\dfrac{11}{8}$.
D. $\dfrac{7}{2}$.
A. $\dfrac{11}{4}$.
B. $\dfrac{17}{4}$.
C. $\dfrac{11}{8}$.
D. $\dfrac{7}{2}$.
Ta có: $M$ là trung điểm của $AA'$ và $MA'||CC'\Rightarrow $ $MA'$ là đường trung bình của $\Delta PCC'$.
$\Rightarrow A'$ là trung điểm của $PC'$.
Vì $\Delta QB'N\approx \Delta QCC'\Rightarrow \dfrac{QB'}{QC}=\dfrac{B'N}{CC'}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{B'C'}{C'Q}=\dfrac{2}{3}$.
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{C.C'A'B'}}}{{{V}_{C.C'PQ}}}=\dfrac{{{S}_{A'B'C'}}}{{{S}_{C'PQ}}}=\dfrac{C'A'.C'B'}{C'P.C'Q}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{CC'PQ}}=3{{V}_{C.C'A'B'}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}$.
Mặt khác: $\dfrac{{{V}_{CMN.C'A'B'}}}{{{V}_{C'A'B'.CAB}}}=\dfrac{AM}{AA'}+\dfrac{B'N}{BB'}+\dfrac{CC'}{CC'}=\dfrac{11}{18}\Rightarrow {{V}_{CMN.C'A'B'}}=\dfrac{11}{18}{{V}_{C'A'B'.CAB}}$.
$\Rightarrow {{V}_{A'MP.B'NQ}}={{V}_{C.C'A'B'}}-{{V}_{CMN.C'A'B'}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-\dfrac{11}{18}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{7}{18}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{7}{2}$.
$\Rightarrow A'$ là trung điểm của $PC'$.
Vì $\Delta QB'N\approx \Delta QCC'\Rightarrow \dfrac{QB'}{QC}=\dfrac{B'N}{CC'}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{B'C'}{C'Q}=\dfrac{2}{3}$.
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{C.C'A'B'}}}{{{V}_{C.C'PQ}}}=\dfrac{{{S}_{A'B'C'}}}{{{S}_{C'PQ}}}=\dfrac{C'A'.C'B'}{C'P.C'Q}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{CC'PQ}}=3{{V}_{C.C'A'B'}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}$.
Mặt khác: $\dfrac{{{V}_{CMN.C'A'B'}}}{{{V}_{C'A'B'.CAB}}}=\dfrac{AM}{AA'}+\dfrac{B'N}{BB'}+\dfrac{CC'}{CC'}=\dfrac{11}{18}\Rightarrow {{V}_{CMN.C'A'B'}}=\dfrac{11}{18}{{V}_{C'A'B'.CAB}}$.
$\Rightarrow {{V}_{A'MP.B'NQ}}={{V}_{C.C'A'B'}}-{{V}_{CMN.C'A'B'}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-\dfrac{11}{18}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{7}{18}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{7}{2}$.
Đáp án D.