Google
Câu hỏi: Cho khối nón tròn xoay đỉnh $S$, đáy là đường tròn tâm $O$, góc ở đỉnh bằng $120{}^\circ $. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ thay đổi, đi qua $S$ và cắt khối nón theo thiết diện là tam giác $SAB$. Biết rằng giá trị lớn nhất diện tích tam giác $SAB$ là $2{{a}^{2}}$. Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( Q \right)$ trong trường hợp diện tích tam giác $SAB$ đạt giá trị lớn nhất là
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $a\sqrt{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Gọi đường sinh của hình nón là $l$.
${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}SA.SB.\sin \left( ASB \right)=\dfrac{1}{2}{{l}^{2}}.\sin \left( ASB \right)\le \dfrac{1}{2}{{l}^{2}}$
$\Rightarrow $ ${{\left( {{S}_{\Delta SAB}} \right)}_{\max }}=\dfrac{1}{2}{{l}^{2}}$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi $\sin \left( ASB \right)=1\Leftrightarrow \widehat{ASB}=90{}^\circ $ $\Leftrightarrow \Delta SAB$ vuông cân ở $S.$
Do đó ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}{{l}^{2}}\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}=\dfrac{1}{2}{{l}^{2}}\Rightarrow l=2a.$
Tam giác $SAB$ vuông cân ở $S\Rightarrow AB=SA.\sqrt{2}=2a\sqrt{2}$
Góc ở đỉnh của hình nón là $120{}^\circ \Rightarrow \widehat{OSA}=60{}^\circ $.
Xét $\Delta SOA$ vuông ở $O$ :
$\left\{ \begin{aligned}
& SO=SA.\cos 60{}^\circ =a \\
& AO=SA\sin 60{}^\circ =a\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Kẻ $OM\bot AB$ ở $M.$ Kẻ $OH\bot SM$ ở $H$.
Ta có: $AB\bot OM; AB\bot SO\Rightarrow AB\bot \left( SOM \right)\Rightarrow AB\bot OH$.
Mà $OH\bot SM\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right)$ tại $H\Rightarrow d\left( O;\left( Q \right) \right)=d\left( O;\left( SAB \right) \right)=OH$.
Ta có $AM=MB=a\sqrt{2}.$
Xét $\Delta OAM$ vuông ở $M\Rightarrow OM=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{M}^{2}}}=a.$
Xét $\Delta SOM$ vuông ở $O$ có $OM=SO=a$ nên $\Delta SOM$ vuông cân ở $O.$
Mà $OH$ là đường cao của tam giác $SOM$ $\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow d\left( O;\left( Q \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $a\sqrt{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}SA.SB.\sin \left( ASB \right)=\dfrac{1}{2}{{l}^{2}}.\sin \left( ASB \right)\le \dfrac{1}{2}{{l}^{2}}$
$\Rightarrow $ ${{\left( {{S}_{\Delta SAB}} \right)}_{\max }}=\dfrac{1}{2}{{l}^{2}}$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi $\sin \left( ASB \right)=1\Leftrightarrow \widehat{ASB}=90{}^\circ $ $\Leftrightarrow \Delta SAB$ vuông cân ở $S.$
Do đó ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}{{l}^{2}}\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}=\dfrac{1}{2}{{l}^{2}}\Rightarrow l=2a.$
Tam giác $SAB$ vuông cân ở $S\Rightarrow AB=SA.\sqrt{2}=2a\sqrt{2}$
Góc ở đỉnh của hình nón là $120{}^\circ \Rightarrow \widehat{OSA}=60{}^\circ $.
Xét $\Delta SOA$ vuông ở $O$ :
$\left\{ \begin{aligned}
& SO=SA.\cos 60{}^\circ =a \\
& AO=SA\sin 60{}^\circ =a\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Kẻ $OM\bot AB$ ở $M.$ Kẻ $OH\bot SM$ ở $H$.
Ta có: $AB\bot OM; AB\bot SO\Rightarrow AB\bot \left( SOM \right)\Rightarrow AB\bot OH$.
Mà $OH\bot SM\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right)$ tại $H\Rightarrow d\left( O;\left( Q \right) \right)=d\left( O;\left( SAB \right) \right)=OH$.
Ta có $AM=MB=a\sqrt{2}.$
Xét $\Delta OAM$ vuông ở $M\Rightarrow OM=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{M}^{2}}}=a.$
Xét $\Delta SOM$ vuông ở $O$ có $OM=SO=a$ nên $\Delta SOM$ vuông cân ở $O.$
Mà $OH$ là đường cao của tam giác $SOM$ $\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow d\left( O;\left( Q \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án A.