Google
Câu hỏi: Cho khối nón (N) đỉnh S, có chiều cao là $a\sqrt{3}$ và độ dài đường sinh là 3a. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S, cắt và tạo với mặt đáy một khối nón một góc $60{}^\circ $. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và khối nón (N).
A. $2{{\text{a}}^{2}}\sqrt{5}$
B. ${{a}^{2}}\sqrt{3}$
C. $2{{\text{a}}^{2}}\sqrt{3}$
D. ${{a}^{2}}\sqrt{5}$
Khối nón (N) có tâm đáy là O, chiều cao $SO=h=a\sqrt{3}$ và độ dài đường sinh $\ell =3\text{a}$.
Giả sử mặt phẳng (P) cắt (N) theo thiết diện là tam giác SAB.
Do $SA=SB=\ell \Rightarrow \Delta SAB$ cân tại đỉnh S.
Gọi I là trung điểm của AB. Ta có: $OI\bot AB,SI\bot AB$ và khi đó góc giữa mặt phẳng (P) và mặt đáy (N) là góc $\widehat{SI\text{O}}=60{}^\circ $.
Trong tam giác SOI vuông tại O góc $\widehat{SI\text{O}}=60{}^\circ $.
Ta có: $SI=\dfrac{SO}{\sin SIO}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sin 60{}^\circ }=2a$.
Trong tam giác SIA ta có: $I{{A}^{2}}=S{{A}^{2}}-S{{I}^{2}}=5{{\text{a}}^{2}}\Rightarrow IA=a\sqrt{5}$.
$AB=2IA=2\text{a}\sqrt{5}$. Vậy diện tích thiết diện cần tìm là:
${{S}_{t\text{d}}}={{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}SI.AB=2{{\text{a}}^{2}}\sqrt{5}$.
A. $2{{\text{a}}^{2}}\sqrt{5}$
B. ${{a}^{2}}\sqrt{3}$
C. $2{{\text{a}}^{2}}\sqrt{3}$
D. ${{a}^{2}}\sqrt{5}$
Khối nón (N) có tâm đáy là O, chiều cao $SO=h=a\sqrt{3}$ và độ dài đường sinh $\ell =3\text{a}$.
Giả sử mặt phẳng (P) cắt (N) theo thiết diện là tam giác SAB.
Do $SA=SB=\ell \Rightarrow \Delta SAB$ cân tại đỉnh S.
Gọi I là trung điểm của AB. Ta có: $OI\bot AB,SI\bot AB$ và khi đó góc giữa mặt phẳng (P) và mặt đáy (N) là góc $\widehat{SI\text{O}}=60{}^\circ $.
Trong tam giác SOI vuông tại O góc $\widehat{SI\text{O}}=60{}^\circ $.
Ta có: $SI=\dfrac{SO}{\sin SIO}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sin 60{}^\circ }=2a$.
Trong tam giác SIA ta có: $I{{A}^{2}}=S{{A}^{2}}-S{{I}^{2}}=5{{\text{a}}^{2}}\Rightarrow IA=a\sqrt{5}$.
$AB=2IA=2\text{a}\sqrt{5}$. Vậy diện tích thiết diện cần tìm là:
${{S}_{t\text{d}}}={{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}SI.AB=2{{\text{a}}^{2}}\sqrt{5}$.
Đáp án A.