Cho khối nón (N) đỉnh S, có chiều cao là $a\sqrt{3}$ và độ dài...

Khối nón (N) có tâm đáy là O, chiều cao $SO=h=a\sqrt{3}$ và độ dài đường sinh $\ell =3\text{a}$.
Giả sử mặt phẳng (P) cắt (N) theo thiết diện là tam giác SAB.
Do $SA=SB=\ell \Rightarrow \mathrm{\Delta }SAB$ cân tại đỉnh S.
Gọi I là trung điểm của AB. Ta có: $OI\mathrm{\perp }AB,SI\mathrm{\perp }AB$ và khi đó góc giữa mặt phẳng (P) và mặt đáy (N) là góc $\widehat{SI\text{O}}=60{}^{\circ }$.
Trong tam giác SOI vuông tại O góc $\widehat{SI\text{O}}=60{}^{\circ }$.
Ta có: $SI={\displaystyle \frac{SO}{\sin SIO}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{\sin 60{}^{\circ }}}=2a$.
Trong tam giác SIA ta có: $I{A}^2=S{A}^2-S{I}^2=5{\text{a}}^2\Rightarrow IA=a\sqrt{5}$.
$AB=2IA=2\text{a}\sqrt{5}$. Vậy diện tích thiết diện cần tìm là:
$S_{t\text{d}}=S_{SAB}={\displaystyle \frac{1}{2}}SI.AB=2{\text{a}}^2\sqrt{5}$.