Google
Câu hỏi: Cho khối nón $\left( N \right)$ đỉnh $S$, có chiều cao là $a\sqrt{3}$ và độ dài đường sinh là $3a$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua đỉnh $S$, cắt và tạo với mặt đáy của khối nón một góc $60{}^\circ $. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ và khối nón $\left( N \right)$.
A. $2{{a}^{2}}\sqrt{5}$.
B. ${{a}^{2}}\sqrt{3}$.
C. $2{{a}^{2}}\sqrt{3}$.
D. ${{a}^{2}}\sqrt{5}$.
Khối nón $\left( N \right)$ có tâm đáy là $O$, chiều cao $SO=h=a\sqrt{3}$ và độ dài đường sinh $\ell =3a$.
Giả sử mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt $\left( N \right)$ theo thiết diện là tam giác $SAB$.
Do $SA=SB=\ell \Rightarrow \Delta SAB$ cân tại đỉnh $S$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Ta có $OI\bot AB,SI\bot AB$ và khi đó góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt đáy của $\left( N \right)$ là góc $\widehat{SIO}=60{}^\circ $.
Trong tam giác $SOI$ vuông tại $O$ góc $\widehat{SIO}=60{}^\circ $.
Ta có: $SI=\dfrac{SO}{\sin SIO}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sin 60{}^\circ }=2a$
Trong tam giác $SIA$ ta có: $I{{A}^{2}}=S{{A}^{2}}-S{{I}^{2}}=5{{a}^{2}}\Rightarrow IA=a\sqrt{5}$
$AB=2IA=2a\sqrt{5}$. Vậy diện tích thiết diện cần tìm là: ${{S}_{t}}={{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}SI.AB=2{{a}^{2}}\sqrt{5}$.
A. $2{{a}^{2}}\sqrt{5}$.
B. ${{a}^{2}}\sqrt{3}$.
C. $2{{a}^{2}}\sqrt{3}$.
D. ${{a}^{2}}\sqrt{5}$.
Khối nón $\left( N \right)$ có tâm đáy là $O$, chiều cao $SO=h=a\sqrt{3}$ và độ dài đường sinh $\ell =3a$.
Giả sử mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt $\left( N \right)$ theo thiết diện là tam giác $SAB$.
Do $SA=SB=\ell \Rightarrow \Delta SAB$ cân tại đỉnh $S$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Ta có $OI\bot AB,SI\bot AB$ và khi đó góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt đáy của $\left( N \right)$ là góc $\widehat{SIO}=60{}^\circ $.
Trong tam giác $SOI$ vuông tại $O$ góc $\widehat{SIO}=60{}^\circ $.
Ta có: $SI=\dfrac{SO}{\sin SIO}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sin 60{}^\circ }=2a$
Trong tam giác $SIA$ ta có: $I{{A}^{2}}=S{{A}^{2}}-S{{I}^{2}}=5{{a}^{2}}\Rightarrow IA=a\sqrt{5}$
$AB=2IA=2a\sqrt{5}$. Vậy diện tích thiết diện cần tìm là: ${{S}_{t}}={{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}SI.AB=2{{a}^{2}}\sqrt{5}$.
Đáp án A.