Google
Câu hỏi: Cho khối nón đỉnh O, trục OI. Mặt phẳng trung trực của OI chia khối nón thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần là
A. $\dfrac{1}{2}.$
B. $\dfrac{1}{8}.$
C. $\dfrac{1}{4}.$
D. $\dfrac{1}{7}.$
A. $\dfrac{1}{2}.$
B. $\dfrac{1}{8}.$
C. $\dfrac{1}{4}.$
D. $\dfrac{1}{7}.$
Gọi R là bán kính đáy của khối nón trục $OI\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.OI.$
Giả sử mặt phẳng trung trục của OI cắt trục OI tại H, cắt đường sinh OM tại N.
Khi đó mặt phẳng này chia khối nón thành 2 phần, phần trên là khối nón mới có bán kính $r=\dfrac{R}{2}$ có chiều cao là $\dfrac{OI}{2}.$
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \dfrac{R}{2} \right)}^{2}}\left( \dfrac{OI}{2} \right)=\dfrac{\pi {{R}^{2}}OI}{24}.$
Phần dưới là khối nón cụt có thể tích ${{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}=\dfrac{\pi {{R}^{2}}OI}{3}-\dfrac{\pi {{R}^{2}}OI}{24}=\dfrac{7\pi {{R}^{2}}OI}{24}.$
Vậy tỉ số thể tích là $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{\dfrac{\pi {{R}^{2}}OI}{24}}{\dfrac{7\pi {{R}^{2}}OI}{24}}=\dfrac{1}{7}.$
Giả sử mặt phẳng trung trục của OI cắt trục OI tại H, cắt đường sinh OM tại N.
Khi đó mặt phẳng này chia khối nón thành 2 phần, phần trên là khối nón mới có bán kính $r=\dfrac{R}{2}$ có chiều cao là $\dfrac{OI}{2}.$
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \dfrac{R}{2} \right)}^{2}}\left( \dfrac{OI}{2} \right)=\dfrac{\pi {{R}^{2}}OI}{24}.$
Phần dưới là khối nón cụt có thể tích ${{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}=\dfrac{\pi {{R}^{2}}OI}{3}-\dfrac{\pi {{R}^{2}}OI}{24}=\dfrac{7\pi {{R}^{2}}OI}{24}.$
Vậy tỉ số thể tích là $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{\dfrac{\pi {{R}^{2}}OI}{24}}{\dfrac{7\pi {{R}^{2}}OI}{24}}=\dfrac{1}{7}.$
Đáp án D.