Google
Câu hỏi: Cho khối nón đỉnh $O$ trục $OI$, bán kính bằng $a$ chiều cao bằng $\dfrac{a}{2}$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ thay đổi luôn đi qua $O$ và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác $AOB$. Độ dài $AB$ khi diện tích của tam giác $AOB$ lớn nhất bằng
A. $2a$.
B. $\dfrac{5{{a}^{2}}}{8}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{10}}{4}$.
Ta có $OA=OB=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
Góc ở đỉnh của hình nón là $\widehat{COD}=2\widehat{COI}$.
Xét $\Delta COI$ ta có $\tan \widehat{COI}=\dfrac{CI}{OI}=\dfrac{a}{\dfrac{a}{2}}=2$. Suy ra $\widehat{COI}\approx 63{}^\circ 26'6''\Rightarrow \widehat{COD}\approx 126{}^\circ 51'12''>90{}^\circ $.
Diện tích tam giác $AOB$ là $S=\dfrac{1}{2}.OA.OB.\sin \widehat{AOB}$
Do $\widehat{AOB}\le \widehat{COD}$ nên $\sin \widehat{AOB}\le 1$.
Do đó $S=\dfrac{1}{2}.OA.OB.\sin \widehat{AOB}\le \dfrac{1}{2}.OA.OB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
Vậy diện tích tam giác $AOB$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin \widehat{AOB}=1\Rightarrow OA\bot OB$.
Khi đó $AB=OA.\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$.
A. $2a$.
B. $\dfrac{5{{a}^{2}}}{8}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{10}}{4}$.
Ta có $OA=OB=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
Góc ở đỉnh của hình nón là $\widehat{COD}=2\widehat{COI}$.
Xét $\Delta COI$ ta có $\tan \widehat{COI}=\dfrac{CI}{OI}=\dfrac{a}{\dfrac{a}{2}}=2$. Suy ra $\widehat{COI}\approx 63{}^\circ 26'6''\Rightarrow \widehat{COD}\approx 126{}^\circ 51'12''>90{}^\circ $.
Diện tích tam giác $AOB$ là $S=\dfrac{1}{2}.OA.OB.\sin \widehat{AOB}$
Do $\widehat{AOB}\le \widehat{COD}$ nên $\sin \widehat{AOB}\le 1$.
Do đó $S=\dfrac{1}{2}.OA.OB.\sin \widehat{AOB}\le \dfrac{1}{2}.OA.OB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
Vậy diện tích tam giác $AOB$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin \widehat{AOB}=1\Rightarrow OA\bot OB$.
Khi đó $AB=OA.\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$.
Đáp án C.