Google
Câu hỏi: Cho khối nón có độ lớn góc đỉnh là $\dfrac{\pi }{3}.$ Một khối cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ nội tiếp trong khối nón. Gọi ${{S}_{2}}$ là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với ${{S}_{1}},{{S}_{3}}$ là khối tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón với ${{S}_{2}};...;{{S}_{n}}$ là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với ${{S}_{n-1}}.$ Gọi ${{V}_{1}},{{V}_{2}},...,{{V}_{n-1}},{{V}_{n}}$ lần lượt là thể tích của khối cầu ${{S}_{1}},{{S}_{2}},...,{{S}_{n-1}},{{S}_{n}}$ và $V$ là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức $T=\underset{n\to -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+...+{{V}_{n}}}{V}$
A. $\dfrac{3}{5}$
B. $\dfrac{6}{13}$
C. $\dfrac{7}{9}$
D. $\dfrac{1}{2}$
A. $\dfrac{3}{5}$
B. $\dfrac{6}{13}$
C. $\dfrac{7}{9}$
D. $\dfrac{1}{2}$
Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác đều cạnh $x$. Do đó bán kính đường tròn nội tiếp tam giác cũng chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chóp là ${{r}_{1}}=\dfrac{x\sqrt{3}}{6}$
Áp dụng định lí Ta – lét ta có $\dfrac{A{A}'}{AB}=\dfrac{A{H}'}{AH}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow A{A}'=\dfrac{x}{3}$
Tương tự, ta tìm được ${{r}_{2}}=\dfrac{x}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{6}=\dfrac{x\sqrt{3}}{18}=\dfrac{{{r}_{1}}}{3}.$ Tiếp tục như vậy $\Rightarrow {{r}_{n}}=\dfrac{{{r}_{1}}}{{{3}^{n-1}}}$
Ta có ${{V}_{1}}=\dfrac{4}{3}\pi r_{1}^{3};{{V}_{2}}=\dfrac{4}{3}\pi r_{2}^{3}=\dfrac{1}{{{3}^{3}}}{{V}_{1}};...;{{V}_{n}}=\dfrac{1}{{{\left( {{3}^{3}} \right)}^{n-1}}}V$
Do đó $L=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+...+{{V}_{n}}}{V}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{{{V}_{1}}\left[ 1+\dfrac{1}{{{3}^{3}}}+\dfrac{1}{{{\left( {{3}^{3}} \right)}^{2}}}+...+\dfrac{1}{{{\left( {{3}^{3}} \right)}^{n-1}}} \right]}{V}$
Dễ thấy $S=1+\dfrac{1}{{{3}^{3}}}+\dfrac{1}{{{\left( {{3}^{3}} \right)}^{2}}}+...+\dfrac{1}{{{\left( {{3}^{3}} \right)}^{n-1}}}$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn $\Rightarrow S=\dfrac{27}{16}$
Vậy $L=\dfrac{27}{16}{{V}_{1}}:V=\dfrac{\sqrt{3}\pi {{x}^{3}}}{52}:\dfrac{\sqrt{3}\pi {{x}^{3}}}{24}=\dfrac{6}{13}.$
Áp dụng định lí Ta – lét ta có $\dfrac{A{A}'}{AB}=\dfrac{A{H}'}{AH}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow A{A}'=\dfrac{x}{3}$
Tương tự, ta tìm được ${{r}_{2}}=\dfrac{x}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{6}=\dfrac{x\sqrt{3}}{18}=\dfrac{{{r}_{1}}}{3}.$ Tiếp tục như vậy $\Rightarrow {{r}_{n}}=\dfrac{{{r}_{1}}}{{{3}^{n-1}}}$
Ta có ${{V}_{1}}=\dfrac{4}{3}\pi r_{1}^{3};{{V}_{2}}=\dfrac{4}{3}\pi r_{2}^{3}=\dfrac{1}{{{3}^{3}}}{{V}_{1}};...;{{V}_{n}}=\dfrac{1}{{{\left( {{3}^{3}} \right)}^{n-1}}}V$
Do đó $L=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+...+{{V}_{n}}}{V}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{{{V}_{1}}\left[ 1+\dfrac{1}{{{3}^{3}}}+\dfrac{1}{{{\left( {{3}^{3}} \right)}^{2}}}+...+\dfrac{1}{{{\left( {{3}^{3}} \right)}^{n-1}}} \right]}{V}$
Dễ thấy $S=1+\dfrac{1}{{{3}^{3}}}+\dfrac{1}{{{\left( {{3}^{3}} \right)}^{2}}}+...+\dfrac{1}{{{\left( {{3}^{3}} \right)}^{n-1}}}$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn $\Rightarrow S=\dfrac{27}{16}$
Vậy $L=\dfrac{27}{16}{{V}_{1}}:V=\dfrac{\sqrt{3}\pi {{x}^{3}}}{52}:\dfrac{\sqrt{3}\pi {{x}^{3}}}{24}=\dfrac{6}{13}.$
Đáp án B.