Cho khối nón có độ lớn góc đỉnh là $\frac{π}{3} .$ Một khối cầu...

The Knowledge · 14/1/22

Câu hỏi: Cho khối nón có độ lớn góc đỉnh là

\frac{π}{3} .

Một khối cầu

(S_{1})

nội tiếp trong khối nón. Gọi

S_{2}

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

S_{1}, S_{3}

là khối tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón với

S_{2}; . . .; S_{n}

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

S_{n - 1} .

Gọi

V_{1}, V_{2}, . . ., V_{n - 1}, V_{n}

lần lượt là thể tích của khối cầu

S_{1}, S_{2}, . . ., S_{n - 1}, S_{n}

và

V

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức

T = lim_{n \to - \infty} \frac{V_{1} + V_{2} + . . . + V_{n}}{V}

A.

\frac{3}{5}

B.

\frac{6}{13}

C.

\frac{7}{9}

D.

\frac{1}{2}

Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác đều cạnh

x

. Do đó bán kính đường tròn nội tiếp tam giác cũng chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chóp là

r_{1} = \frac{x \sqrt{3}}{6}

Áp dụng định lí Ta – lét ta có

\frac{A A^{'}}{A B} = \frac{A H^{'}}{A H} = \frac{1}{3} \Rightarrow A A^{'} = \frac{x}{3}

Tương tự, ta tìm được

r_{2} = \frac{x}{3} . \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{x \sqrt{3}}{18} = \frac{r_{1}}{3} .

Tiếp tục như vậy

\Rightarrow r_{n} = \frac{r_{1}}{3^{n - 1}}

Ta có

V_{1} = \frac{4}{3} π r_{1}^{3}; V_{2} = \frac{4}{3} π r_{2}^{3} = \frac{1}{3^{3}} V_{1}; . . .; V_{n} = \frac{1}{{(3^{3})}^{n - 1}} V

Do đó

L = lim_{n \to + \infty} \frac{V_{1} + V_{2} + . . . + V_{n}}{V} = lim_{n \to + \infty} \frac{V_{1} [1 + \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{{(3^{3})}^{2}} + . . . + \frac{1}{{(3^{3})}^{n - 1}}]}{V}

Dễ thấy

S = 1 + \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{{(3^{3})}^{2}} + . . . + \frac{1}{{(3^{3})}^{n - 1}}

là tổng cấp số nhân lùi vô hạn

\Rightarrow S = \frac{27}{16}

Vậy

L = \frac{27}{16} V_{1} : V = \frac{\sqrt{3} π x^{3}}{52} : \frac{\sqrt{3} π x^{3}}{24} = \frac{6}{13} .

Đáp án B.

Cho khối nón có độ lớn góc đỉnh là π3. Một khối cầu...