Google
Câu hỏi: Cho khối lập phương ${ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}$. Gọi ${M, N}$ lần lượt là trung điểm ${AB, AD}$. Mặt phẳng ${\left( {C}'MN \right)}$ chia khối lập phương thành 2 khối đa diện. Gọi ${{{V}_{1}}}$ là thể tích khối đa diện có thể tích nhỏ, ${{{V}_{2}}}$ là thể tích khối đa diện có thể tích lớn. Tính tỉ số ${\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}}$ ?
A. ${\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{25}{47}}$.
B. ${\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{13}{23}}$.
C. ${\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{3}}$.
D. ${\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{2}}$.
Ta có $\dfrac{{{V}_{F.EMB}}}{{{V}_{F.C'NC}}}=\dfrac{FE}{FC'}.\dfrac{FM}{FN}.\dfrac{FB}{FC}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{18} \left( 1 \right)$
$\dfrac{{{V}_{S.KDN}}}{{{V}_{S.C'CN}}}=\dfrac{SK}{SC'}.\dfrac{SD}{SC}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9} \left( 2 \right)$
Lại có $\dfrac{{{V}_{C'.FNC}}}{{{V}_{C'.FSC}}}=\dfrac{FN}{FS}=\dfrac{2}{3} \left( 3 \right)$
Suy ra $\dfrac{{{V}_{C'.SNC}}}{{{V}_{C'.FSC}}}=\dfrac{1}{3} \left( 4 \right)$
Từ (1) và (3) suy ra ${{V}_{F.EMB}}=\dfrac{1}{18}.\dfrac{2}{3}.{{V}_{C'FSC}}=\dfrac{1}{27}.{{V}_{C'.FSC}}$
Từ (2) và (4) suy ra ${{V}_{S.KDN}}=\dfrac{1}{9}.\dfrac{1}{3}.{{V}_{C'FSC}}=\dfrac{1}{27}{{V}_{C'FSC}}$
Do đó ${{V}_{F.EMB}}+{{V}_{S.KDN}}=\dfrac{2}{27}.{{V}_{C'FSC}}$
Suy ra ${{V}_{C'EMNKDCB}}=\dfrac{25}{27}.{{V}_{C'FSC}} \left( 5 \right)$
Mặt khác ${{V}_{C'FSC}}=\dfrac{1}{3}.CC'.{{S}_{\Delta CFS}}=\dfrac{1}{3}.CC'.\dfrac{1}{2}.CF.CS=\dfrac{1}{6}CC'.\dfrac{3}{2}.CB.\dfrac{3}{2}.CD=\dfrac{3}{8}{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}} \left( 6 \right)$
Từ (5) và (6) suy ra ${{V}_{C'.EMNKDCB}}=\dfrac{25}{27}.{{V}_{C'FSC}}=\dfrac{25}{27}.\dfrac{3}{8}.{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=\dfrac{25}{72}.{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}$
Suy ra ${{V}_{1}}=\dfrac{25}{72}.{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}$ và ${{V}_{2}}=\dfrac{47}{72}.{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}$
Vậy $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{25}{47}$
A. ${\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{25}{47}}$.
B. ${\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{13}{23}}$.
C. ${\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{3}}$.
D. ${\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{2}}$.
Ta có $\dfrac{{{V}_{F.EMB}}}{{{V}_{F.C'NC}}}=\dfrac{FE}{FC'}.\dfrac{FM}{FN}.\dfrac{FB}{FC}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{18} \left( 1 \right)$
$\dfrac{{{V}_{S.KDN}}}{{{V}_{S.C'CN}}}=\dfrac{SK}{SC'}.\dfrac{SD}{SC}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9} \left( 2 \right)$
Lại có $\dfrac{{{V}_{C'.FNC}}}{{{V}_{C'.FSC}}}=\dfrac{FN}{FS}=\dfrac{2}{3} \left( 3 \right)$
Suy ra $\dfrac{{{V}_{C'.SNC}}}{{{V}_{C'.FSC}}}=\dfrac{1}{3} \left( 4 \right)$
Từ (1) và (3) suy ra ${{V}_{F.EMB}}=\dfrac{1}{18}.\dfrac{2}{3}.{{V}_{C'FSC}}=\dfrac{1}{27}.{{V}_{C'.FSC}}$
Từ (2) và (4) suy ra ${{V}_{S.KDN}}=\dfrac{1}{9}.\dfrac{1}{3}.{{V}_{C'FSC}}=\dfrac{1}{27}{{V}_{C'FSC}}$
Do đó ${{V}_{F.EMB}}+{{V}_{S.KDN}}=\dfrac{2}{27}.{{V}_{C'FSC}}$
Suy ra ${{V}_{C'EMNKDCB}}=\dfrac{25}{27}.{{V}_{C'FSC}} \left( 5 \right)$
Mặt khác ${{V}_{C'FSC}}=\dfrac{1}{3}.CC'.{{S}_{\Delta CFS}}=\dfrac{1}{3}.CC'.\dfrac{1}{2}.CF.CS=\dfrac{1}{6}CC'.\dfrac{3}{2}.CB.\dfrac{3}{2}.CD=\dfrac{3}{8}{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}} \left( 6 \right)$
Từ (5) và (6) suy ra ${{V}_{C'.EMNKDCB}}=\dfrac{25}{27}.{{V}_{C'FSC}}=\dfrac{25}{27}.\dfrac{3}{8}.{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=\dfrac{25}{72}.{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}$
Suy ra ${{V}_{1}}=\dfrac{25}{72}.{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}$ và ${{V}_{2}}=\dfrac{47}{72}.{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}$
Vậy $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{25}{47}$
Đáp án A.