Google
Câu hỏi: Cho khối lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ cạnh bằng $3$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng ${A}'{D}'$ và ${C}'{D}'$. Mặt phẳng $\left(BMN \right)$ chia khối lập phương thành hai phần, gọi $V$ là thể tích phần chứa đỉnh ${B}'$. Tính $V$ ?
A. $\dfrac{21}{8}$.
B. $\dfrac{225}{8}$.
C. $\dfrac{75}{8}$.
D. $\dfrac{63}{8}$.
Qua $B$ kẻ đường thẳng song song $MN$ trong mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, đường thẳng này cắt $AD, DC$ lần lượt tại $E, F$.
$L=ME\cap {A}'A,K=NF\cap C{C}'$
Khi đó thiết diện tạo bởi $\left( BMN \right)$ với hình lập phương là ngũ giác $BLMK$.
Ta có $V={{V}_{B.{A}'LM}}+{{V}_{B.{A}'MN{C}'{B}'}}+{{V}_{B.{C}'NK}}$
Tính ${{V}_{B.{A}'MN{C}'{B}'}}$
${{S}_{{A}'MN{C}'{B}'}}={{S}_{{A}'{B}'{C}'{D}'}}-{{S}_{{D}'MN}}={{3}^{2}}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.\dfrac{3}{2}=\dfrac{63}{8}$
${{V}_{B.{A}'MN{C}'{B}'}}=\dfrac{1}{3}.B{B}'.{{S}_{{A}'MN{C}'{B}'}}=\dfrac{1}{3}.3.\dfrac{63}{8}=\dfrac{63}{8}$.
Theo cách xác định mặt phẳng $\left( BMN \right)$ ta có: $\dfrac{{A}'L}{AL}=\dfrac{{A}'M}{AE}=\dfrac{{A}'M}{AD}=\dfrac{1}{2}$ suy ra ${A}'L=1$.
Ta có ${{S}_{{A}'ML}}=\dfrac{1}{2}.{A}'L.{A}'M=\dfrac{1}{2}.1.\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}$ suy ra ${{V}_{B.{A}'ML}}=\dfrac{1}{3}.BA.{{S}_{{A}'ML}}=\dfrac{3}{4}$.
Tương tự ta có ${{V}_{B.{C}'NK}}=\dfrac{3}{4}$.
Vậy $V={{V}_{B.{A}'LM}}+{{V}_{B.{A}'MN{C}'{B}'}}+{{V}_{B.{C}'NK}}=\dfrac{63}{8}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{75}{8}$.
A. $\dfrac{21}{8}$.
B. $\dfrac{225}{8}$.
C. $\dfrac{75}{8}$.
D. $\dfrac{63}{8}$.
Qua $B$ kẻ đường thẳng song song $MN$ trong mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, đường thẳng này cắt $AD, DC$ lần lượt tại $E, F$.
$L=ME\cap {A}'A,K=NF\cap C{C}'$
Khi đó thiết diện tạo bởi $\left( BMN \right)$ với hình lập phương là ngũ giác $BLMK$.
Ta có $V={{V}_{B.{A}'LM}}+{{V}_{B.{A}'MN{C}'{B}'}}+{{V}_{B.{C}'NK}}$
Tính ${{V}_{B.{A}'MN{C}'{B}'}}$
${{S}_{{A}'MN{C}'{B}'}}={{S}_{{A}'{B}'{C}'{D}'}}-{{S}_{{D}'MN}}={{3}^{2}}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.\dfrac{3}{2}=\dfrac{63}{8}$
${{V}_{B.{A}'MN{C}'{B}'}}=\dfrac{1}{3}.B{B}'.{{S}_{{A}'MN{C}'{B}'}}=\dfrac{1}{3}.3.\dfrac{63}{8}=\dfrac{63}{8}$.
Theo cách xác định mặt phẳng $\left( BMN \right)$ ta có: $\dfrac{{A}'L}{AL}=\dfrac{{A}'M}{AE}=\dfrac{{A}'M}{AD}=\dfrac{1}{2}$ suy ra ${A}'L=1$.
Ta có ${{S}_{{A}'ML}}=\dfrac{1}{2}.{A}'L.{A}'M=\dfrac{1}{2}.1.\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}$ suy ra ${{V}_{B.{A}'ML}}=\dfrac{1}{3}.BA.{{S}_{{A}'ML}}=\dfrac{3}{4}$.
Tương tự ta có ${{V}_{B.{C}'NK}}=\dfrac{3}{4}$.
Vậy $V={{V}_{B.{A}'LM}}+{{V}_{B.{A}'MN{C}'{B}'}}+{{V}_{B.{C}'NK}}=\dfrac{63}{8}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{75}{8}$.
Đáp án C.