Cho khối lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cạnh 1. Gọi $M, N, P...

The Professor · 29/12/21

Câu hỏi: Cho khối lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

cạnh 1. Gọi

M, N, P, L

lần lượt là tâm các hình vuông

A B B^{'} A^{'}, A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}, A D D^{'} A^{'}, C D D^{'} C^{'}

. Gọi

Q

là trung điểm của

B L

. Tính thể tích khối tứ diện

M N P Q

(tham khảo hình vẽ bên dưới).

A.

\frac{1}{24}

.
B.

\frac{1}{16}

.
C.

\frac{\sqrt{2}}{27}

.
D.

\frac{\sqrt{3}}{27}

.

Vì

M, N, P

lần lượt là trung điểm của

A^{'} B, A^{'} C^{'}, A^{'} D

nên

(M N P) / / (B C^{'} D)

.
Điểm

Q \in B L \subset (B C^{'} D)

.
Suy ra

d (Q, (M N P)) = d ((B C^{'} D), (M N P)) = \frac{1}{2} d (A^{'}, (B C^{'} D)) (1)

S_{Δ M N P} = \frac{1}{4} S_{Δ B C^{'} D} (2)

Từ (1) và (2) suy ra

V_{M N P Q} = \frac{1}{8} V_{A^{'} . B C^{'} D}

.
Ta có

V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = 1

.

V_{A^{'} . B C^{'} D} = 1 - (V_{A . A^{'} B D} + V_{C . B C^{'} D} + V_{B^{'} . A^{'} B C^{'}} + V_{D^{'} . A^{'} C^{'} D}) = 1 - (\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}) = \frac{1}{3}

.
Vậy

V_{M N P Q} = \frac{1}{8} . \frac{1}{3} = \frac{1}{24}

.

Đáp án A.

Cho khối lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh 1. Gọi $M, N, P...