Google
Câu hỏi: Cho khối lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ cạnh 1. Gọi $M, N, P, L$ lần lượt là tâm các hình vuông $AB{B}'{A}', {A}'{B}'{C}'{D}', AD{D}'{A}', CD{D}'{C}'$. Gọi $Q$ là trung điểm của $BL$. Tính thể tích khối tứ diện $MNPQ$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).
A. $\dfrac{1}{24}$.
B. $\dfrac{1}{16}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{27}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{27}$.
Vì $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của ${A}'B, {A}'{C}', {A}'D$ nên $\left( MNP \right)//\left( B{C}'D \right)$.
Điểm $Q\in BL\subset \left( B{C}'D \right)$.
Suy ra $d\left( Q,\left( MNP \right) \right)=d\left( \left( B{C}'D \right),\left( MNP \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( {A}',\left( B{C}'D \right) \right) \left( 1 \right)$
${{S}_{\Delta MNP}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{\Delta B{C}'D}} \left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra ${{V}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{{A}'.B{C}'D}}$.
Ta có ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'D'}}=1$.
${{V}_{{A}'.B{C}'D}}=1-\left( {{V}_{A.{A}'BD}}+{{V}_{C.B{C}'D}}+{{V}_{{B}'.{A}'B{C}'}}+{{V}_{{D}'.{A}'{C}'D}} \right)=1-\left( \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} \right)=\dfrac{1}{3}$.
Vậy ${{V}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{8}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{24}$.
A. $\dfrac{1}{24}$.
B. $\dfrac{1}{16}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{27}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{27}$.
Vì $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của ${A}'B, {A}'{C}', {A}'D$ nên $\left( MNP \right)//\left( B{C}'D \right)$.
Điểm $Q\in BL\subset \left( B{C}'D \right)$.
Suy ra $d\left( Q,\left( MNP \right) \right)=d\left( \left( B{C}'D \right),\left( MNP \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( {A}',\left( B{C}'D \right) \right) \left( 1 \right)$
${{S}_{\Delta MNP}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{\Delta B{C}'D}} \left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra ${{V}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{{A}'.B{C}'D}}$.
Ta có ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'D'}}=1$.
${{V}_{{A}'.B{C}'D}}=1-\left( {{V}_{A.{A}'BD}}+{{V}_{C.B{C}'D}}+{{V}_{{B}'.{A}'B{C}'}}+{{V}_{{D}'.{A}'{C}'D}} \right)=1-\left( \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} \right)=\dfrac{1}{3}$.
Vậy ${{V}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{8}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{24}$.
Đáp án A.