Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh bên bằng $2a$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ và $\left( A{B}'{C}' \right)$ bằng $90{}^\circ $. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. $2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{8\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{8\sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}$.
Ta có $\left( {A}'BC \right)\cap \left( A{B}'{C}' \right)=PQ\text{//}BC\text{//}{B}'{C}'$
Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $BC$, ${B}'{C}'$
Khi đó $\left( AMN{A}' \right)\bot PQ\text{//}BC\text{//}{B}'{C}'$
$\Rightarrow \left( \left( {A}'BC \right),\left( A{B}'{C}' \right) \right)=\left( AN,{A}'M \right)=90{}^\circ \Rightarrow AMN{A}'$ là hình vuông
$\Rightarrow AM=A{A}'=2a\Rightarrow \dfrac{BC\sqrt{3}}{2}=2a\Rightarrow BC=\dfrac{4a\sqrt{3}}{3}$
Thể tích khối lăng trụ là ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.A{A}'={{\left( \dfrac{4a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}.2a=\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
A. $2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{8\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{8\sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}$.
Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $BC$, ${B}'{C}'$
Khi đó $\left( AMN{A}' \right)\bot PQ\text{//}BC\text{//}{B}'{C}'$
$\Rightarrow \left( \left( {A}'BC \right),\left( A{B}'{C}' \right) \right)=\left( AN,{A}'M \right)=90{}^\circ \Rightarrow AMN{A}'$ là hình vuông
$\Rightarrow AM=A{A}'=2a\Rightarrow \dfrac{BC\sqrt{3}}{2}=2a\Rightarrow BC=\dfrac{4a\sqrt{3}}{3}$
Thể tích khối lăng trụ là ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.A{A}'={{\left( \dfrac{4a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}.2a=\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án B.