Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $A{B}'=4$ và $A{B}'\bot B{C}'$. Biết rằng thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng $\dfrac{m}{n}$, trong đó $m, n$ là các số nguyên dương và $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản. Khi đó, tổng $m+n$ bằng
A. $34.$
B. $41.$
C. $35.$
D. $36.$
Giả sử $AB=a;BB'=x$
Ta có $A{B}'\bot B{C}'\Rightarrow \overrightarrow{A{B}'}.\overrightarrow{B{C}'}=0\Leftrightarrow (\overrightarrow{AB}+.\overrightarrow{BB'})(\overrightarrow{B{B}'}+\overrightarrow{BC})=0$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+.\overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{B{B}'}=0\Leftrightarrow -\dfrac{{{a}^{2}}}{2}+{{x}^{2}}=0\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông $ABB'$ ta có: ${{a}^{2}}+{{x}^{2}}=16\Rightarrow x=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\Rightarrow a=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}$
Do đó: ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.sin{{60}^{0}}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}.\dfrac{4}{\sqrt{3}}=\dfrac{32}{3}$
Vậy $m=32,n=3\Rightarrow m+n=35.$
A. $34.$
B. $41.$
C. $35.$
D. $36.$
Ta có $A{B}'\bot B{C}'\Rightarrow \overrightarrow{A{B}'}.\overrightarrow{B{C}'}=0\Leftrightarrow (\overrightarrow{AB}+.\overrightarrow{BB'})(\overrightarrow{B{B}'}+\overrightarrow{BC})=0$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+.\overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{B{B}'}=0\Leftrightarrow -\dfrac{{{a}^{2}}}{2}+{{x}^{2}}=0\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông $ABB'$ ta có: ${{a}^{2}}+{{x}^{2}}=16\Rightarrow x=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\Rightarrow a=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}$
Do đó: ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.sin{{60}^{0}}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}.\dfrac{4}{\sqrt{3}}=\dfrac{32}{3}$
Vậy $m=32,n=3\Rightarrow m+n=35.$
Đáp án C.