Cho khối lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ . Các mặt phẳng...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho khối lăng trụ tam giác đều

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

. Các mặt phẳng

(A B^{'} C)

và

(A^{'} B C^{'})

chia lăng trụ thành 4 phần. Thể tích phần nhỏ nhất trong 4 phần được tạo ra bằng bao nhiêu thể tích

V

của lăng trụ bằng 1?
A.

\frac{1}{24}

.
B.

\frac{1}{12}

.
C.

\frac{1}{8}

.
D.

\frac{1}{36}

.

Ta có

A B^{'} \cap A^{'} B = M; B C^{'} \cap B^{'} C = N

. Do

A B B^{'} A^{'}, B C C^{'} B^{'}

là các hình chữ nhật nên

M, N

lần lượt là trung điểm của

A^{'} B, C^{'} B

.
Gọi

V_{1} = V_{B . B^{'} M N}, V_{2} = V_{B . A C N M}, V_{3} = V_{B^{'} . A^{'} C^{'} N M}, V_{4} = V_{A A^{'} M C C^{'} N}

.

\Rightarrow {\begin{aligned} V_{2} = V_{B^{'} . A B C} - V_{1} = \frac{1}{3} V - V_{1} \\ V_{3} = V_{B . A^{'} B^{'} C^{'}} - V_{1} = \frac{1}{3} V - V_{1} \\ V_{2} = V - (V_{1} + V_{2} + V_{3}) = \frac{1}{3} V + V_{1} \end{aligned}

Ta có

\frac{V_{B . B^{'} M N}}{V_{B . B^{'} A^{'} C^{'}}} = \frac{B M}{B A^{'}} . \frac{B N}{B C^{'}} = \frac{1}{4} \Rightarrow V_{B . B^{'} M N} = \frac{1}{4} V_{B . B^{'} A^{'} C^{'}} = \frac{1}{12} V = \frac{1}{12}

\Rightarrow V_{2} = V_{3} = \frac{1}{4}; V_{4} = \frac{5}{12}

Vậy thể tích phần nhỏ nhất là

V_{1} = \frac{1}{12}

.

Đáp án B.

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′. Các mặt phẳng...