Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$. Các mặt phẳng $\left( A{B}'C \right)$ và $\left( {A}'B{C}' \right)$ chia lăng trụ thành 4 phần. Thể tích phần nhỏ nhất trong 4 phần được tạo ra bằng bao nhiêu thể tích $V$ của lăng trụ bằng 1?
A. $\dfrac{1}{24}$.
B. $\dfrac{1}{12}$.
C. $\dfrac{1}{8}$.
D. $\dfrac{1}{36}$.
Ta có $A{B}'\cap {A}'B=M;B{C}'\cap {B}'C=N$. Do $AB{B}'{A}',BC{C}'{B}'$ là các hình chữ nhật nên $M,N$ lần lượt là trung điểm của ${A}'B,{C}'B$.
Gọi ${{V}_{1}}={{V}_{B.{B}'MN}} , {{V}_{2}}={{V}_{B.ACNM}} , {{V}_{3}}={{V}_{{B}'.{A}'{C}'NM }}, {{V}_{4}}={{V}_{A{A}'MC{C}'N}}$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{V}_{2}}={{V}_{{B}'.ABC}}-{{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}V-{{V}_{1}} \\
& {{V}_{3}}={{V}_{B.{A}'{B}'{C}'}}-{{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}V-{{V}_{1}} \\
& {{V}_{2}}=V-\left( {{V}_{1}}+ {{V}_{2}}+ {{V}_{3}} \right)=\dfrac{1}{3}V+{{V}_{1}} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có
$\dfrac{{{V}_{B.{B}'MN}}}{{{V}_{B.{B}'{A}'{C}'}}}=\dfrac{BM}{B{A}'}.\dfrac{BN}{B{C}'}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{B.{B}'MN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{B.{B}'{A}'{C}'}}=\dfrac{1}{12}V=\dfrac{1}{12}$
$\Rightarrow {{V}_{2}}={{V}_{3}}=\dfrac{1}{4};{{V}_{4}}=\dfrac{5}{12}$
Vậy thể tích phần nhỏ nhất là ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{12}$.
A. $\dfrac{1}{24}$.
B. $\dfrac{1}{12}$.
C. $\dfrac{1}{8}$.
D. $\dfrac{1}{36}$.
Ta có $A{B}'\cap {A}'B=M;B{C}'\cap {B}'C=N$. Do $AB{B}'{A}',BC{C}'{B}'$ là các hình chữ nhật nên $M,N$ lần lượt là trung điểm của ${A}'B,{C}'B$.
Gọi ${{V}_{1}}={{V}_{B.{B}'MN}} , {{V}_{2}}={{V}_{B.ACNM}} , {{V}_{3}}={{V}_{{B}'.{A}'{C}'NM }}, {{V}_{4}}={{V}_{A{A}'MC{C}'N}}$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{V}_{2}}={{V}_{{B}'.ABC}}-{{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}V-{{V}_{1}} \\
& {{V}_{3}}={{V}_{B.{A}'{B}'{C}'}}-{{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}V-{{V}_{1}} \\
& {{V}_{2}}=V-\left( {{V}_{1}}+ {{V}_{2}}+ {{V}_{3}} \right)=\dfrac{1}{3}V+{{V}_{1}} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có
$\dfrac{{{V}_{B.{B}'MN}}}{{{V}_{B.{B}'{A}'{C}'}}}=\dfrac{BM}{B{A}'}.\dfrac{BN}{B{C}'}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{B.{B}'MN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{B.{B}'{A}'{C}'}}=\dfrac{1}{12}V=\dfrac{1}{12}$
$\Rightarrow {{V}_{2}}={{V}_{3}}=\dfrac{1}{4};{{V}_{4}}=\dfrac{5}{12}$
Vậy thể tích phần nhỏ nhất là ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{12}$.
Đáp án B.