Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là...

Dễ thấy $EI=JI=JF$.
Từ đó suy ra ${\displaystyle \frac{EB}{E{B}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{EM}{EK}}={\displaystyle \frac{F{A}^{\prime }}{F{B}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$, suy ra ${\displaystyle \frac{FN}{FK}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
Ta có: $d(K;A^{\prime }{B}^{\prime })={\displaystyle \frac{1}{2}}d(C^{\prime };A^{\prime }{B}^{\prime })$.
$F{B}^{\prime }={\displaystyle \frac{3}{2}}{A}^{\prime }{B}^{\prime }\Rightarrow S_{\mathrm{\Delta }KF{B}^{\prime }}={\displaystyle \frac{3}{4}}{S}_{\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$.
Mặt khác vì ${\displaystyle \frac{EB}{E{B}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ nên suy ra $d(E;\left(KF{B}^{\prime }\right))={\displaystyle \frac{3}{2}}h$ (h là chiều cao lăng trụ).
Do đó $V_{EKF{B}^{\prime }}={\displaystyle \frac{3}{8}}V$ (V là thể tích lăng trụ).
${\displaystyle \frac{V_{EBIM}}{V_{E{B}^{\prime }FK}}}={\displaystyle \frac{EI}{EF}}.{\displaystyle \frac{EM}{EK}}.{\displaystyle \frac{EB}{E{B}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{27}}$ nên $V_{EBIM}={\displaystyle \frac{1}{27}}.{\displaystyle \frac{3}{8}}V={\displaystyle \frac{1}{72}}V$.
${\displaystyle \frac{V_{F{A}^{\prime }JN}}{V_{F{B}^{\prime }EK}}}={\displaystyle \frac{FJ}{FE}}.{\displaystyle \frac{F{A}^{\prime }}{F{B}^{\prime }}}.{\displaystyle \frac{FN}{FK}}={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{18}}$ nên $V_{F{A}^{\prime }JN}={\displaystyle \frac{1}{18}}.{\displaystyle \frac{3}{8}}V={\displaystyle \frac{1}{48}}V$.
Mặt phẳng $\left(IJK\right)$ chia khối lăng trụ thành hai phần.
Gọi $V_1$ là thể tích phần chứa điểm B' và $V_2$ là thể tích phần chứa điểm C.
Ta có: $V_1=({\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{72}}-{\displaystyle \frac{1}{48}})V={\displaystyle \frac{49}{144}}V\Rightarrow V_2=V-{\displaystyle \frac{49}{144}}V={\displaystyle \frac{95}{144}}V$.
Do đó: ${\displaystyle \frac{V_1}{V_2}}={\displaystyle \frac{49}{95}}$.