Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AA' và B'C'. Mặt phẳng $\left( IJK \right)$ chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
A. $\dfrac{25}{47}.$
B. 1.
C. $\dfrac{49}{95}.$
D. $\dfrac{8}{17}.$
Dễ thấy $EI=JI=JF$.
Từ đó suy ra $\dfrac{EB}{EB'}=\dfrac{EM}{EK}=\dfrac{FA'}{FB'}=\dfrac{1}{3}$, suy ra $\dfrac{FN}{FK}=\dfrac{1}{2}$.
Ta có: $d\left( K;A'B' \right)=\dfrac{1}{2}d\left( C';A'B' \right)$.
$FB'=\dfrac{3}{2}A'B'\Rightarrow {{S}_{\Delta KFB'}}=\dfrac{3}{4}{{S}_{\Delta A'B'C'}}$.
Mặt khác vì $\dfrac{EB}{EB'}=\dfrac{1}{3}$ nên suy ra $d\left( E;\left( KFB' \right) \right)=\dfrac{3}{2}h$ (h là chiều cao lăng trụ).
Do đó ${{V}_{EKFB'}}=\dfrac{3}{8}V$ (V là thể tích lăng trụ).
$\dfrac{{{V}_{EBIM}}}{{{V}_{EB'FK}}}=\dfrac{EI}{EF}.\dfrac{EM}{EK}.\dfrac{EB}{EB'}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{27}$ nên ${{V}_{EBIM}}=\dfrac{1}{27}.\dfrac{3}{8}V=\dfrac{1}{72}V$.
$\dfrac{{{V}_{FA'JN}}}{{{V}_{FB'EK}}}=\dfrac{FJ}{FE}.\dfrac{FA'}{FB'}.\dfrac{FN}{FK}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{18}$ nên ${{V}_{FA'JN}}=\dfrac{1}{18}.\dfrac{3}{8}V=\dfrac{1}{48}V$.
Mặt phẳng $\left( IJK \right)$ chia khối lăng trụ thành hai phần.
Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích phần chứa điểm B' và ${{V}_{2}}$ là thể tích phần chứa điểm C.
Ta có: ${{V}_{1}}=\left( \dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{72}-\dfrac{1}{48} \right)V=\dfrac{49}{144}V\Rightarrow {{V}_{2}}=V-\dfrac{49}{144}V=\dfrac{95}{144}V$.
Do đó: $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{49}{95}$.
A. $\dfrac{25}{47}.$
B. 1.
C. $\dfrac{49}{95}.$
D. $\dfrac{8}{17}.$
Dễ thấy $EI=JI=JF$.
Từ đó suy ra $\dfrac{EB}{EB'}=\dfrac{EM}{EK}=\dfrac{FA'}{FB'}=\dfrac{1}{3}$, suy ra $\dfrac{FN}{FK}=\dfrac{1}{2}$.
Ta có: $d\left( K;A'B' \right)=\dfrac{1}{2}d\left( C';A'B' \right)$.
$FB'=\dfrac{3}{2}A'B'\Rightarrow {{S}_{\Delta KFB'}}=\dfrac{3}{4}{{S}_{\Delta A'B'C'}}$.
Mặt khác vì $\dfrac{EB}{EB'}=\dfrac{1}{3}$ nên suy ra $d\left( E;\left( KFB' \right) \right)=\dfrac{3}{2}h$ (h là chiều cao lăng trụ).
Do đó ${{V}_{EKFB'}}=\dfrac{3}{8}V$ (V là thể tích lăng trụ).
$\dfrac{{{V}_{EBIM}}}{{{V}_{EB'FK}}}=\dfrac{EI}{EF}.\dfrac{EM}{EK}.\dfrac{EB}{EB'}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{27}$ nên ${{V}_{EBIM}}=\dfrac{1}{27}.\dfrac{3}{8}V=\dfrac{1}{72}V$.
$\dfrac{{{V}_{FA'JN}}}{{{V}_{FB'EK}}}=\dfrac{FJ}{FE}.\dfrac{FA'}{FB'}.\dfrac{FN}{FK}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{18}$ nên ${{V}_{FA'JN}}=\dfrac{1}{18}.\dfrac{3}{8}V=\dfrac{1}{48}V$.
Mặt phẳng $\left( IJK \right)$ chia khối lăng trụ thành hai phần.
Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích phần chứa điểm B' và ${{V}_{2}}$ là thể tích phần chứa điểm C.
Ta có: ${{V}_{1}}=\left( \dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{72}-\dfrac{1}{48} \right)V=\dfrac{49}{144}V\Rightarrow {{V}_{2}}=V-\dfrac{49}{144}V=\dfrac{95}{144}V$.
Do đó: $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{49}{95}$.
Đáp án C.