Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$, đáy là tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M là trung điểm AC. Biết tam giác ${A}'MB$ cân tại ${A}'$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Góc giữa ${A}'B$ với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $30{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$
Gọi H là trung điểm BM, tam giác ${A}'BM$ cân tại ${A}'$ nên ${A}'H\bot BM$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( {A}'BM \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( {A}'BM \right)\cap \left( ABC \right)=BM \\
& {A}'H\bot BM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {A}'H\bot \left( ABC \right)$
Tam giác ABC đều cạnh a nên ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BH=\dfrac{a\sqrt{3}}{4} \\
& {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \\
\end{aligned} \right.$
${A}'B$ có hình chiếu vuông góc trên $\left( ABC \right)$ là HB
Góc tạo bởi ${A}'B$ với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là góc ${A}'BH$ (vì góc ${A}'BH$ là góc nhọn)
Xét tam giác ${A}'BH$ vuông tại H, ta có:
$\widehat{{A}'BH}=30{}^\circ ,\tan \widehat{{A}'BH}=\dfrac{{A}'H}{BH}\Rightarrow {A}'H=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{a}{4}$,
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'H.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a}{4}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$
Gọi H là trung điểm BM, tam giác ${A}'BM$ cân tại ${A}'$ nên ${A}'H\bot BM$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( {A}'BM \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( {A}'BM \right)\cap \left( ABC \right)=BM \\
& {A}'H\bot BM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {A}'H\bot \left( ABC \right)$
Tam giác ABC đều cạnh a nên ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BH=\dfrac{a\sqrt{3}}{4} \\
& {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \\
\end{aligned} \right.$
${A}'B$ có hình chiếu vuông góc trên $\left( ABC \right)$ là HB
Góc tạo bởi ${A}'B$ với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là góc ${A}'BH$ (vì góc ${A}'BH$ là góc nhọn)
Xét tam giác ${A}'BH$ vuông tại H, ta có:
$\widehat{{A}'BH}=30{}^\circ ,\tan \widehat{{A}'BH}=\dfrac{{A}'H}{BH}\Rightarrow {A}'H=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{a}{4}$,
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'H.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a}{4}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$.
Đáp án A.