Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích $V$. Gọi $M$ là trung điểm của $A{A}'$, $N$ là trung điểm $AM$, $P$ nằm trên $B{B}'$ sao cho $BP=4{B}'P$. Gọi thể tích khối đa diện $MNBC{C}'P$ là ${{V}_{1}}$. Tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}$ bằng
A. $\dfrac{41}{60}$.
B. $\dfrac{37}{49}$.
C. $\dfrac{41}{57}$.
D. $\dfrac{2}{3}$.
Ta có $\dfrac{{{V}_{N.ABC}}}{{{V}_{{A}'.ABC}}}=\dfrac{NA}{{A}'A}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{N.ABC}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{{A}'.ABC}}=\dfrac{1}{12}V$.
Mặt khác $\dfrac{{{V}_{{C}'.{A}'{B}'PM}}}{{{V}_{{C}'.{A}'{B}'BA}}}=\dfrac{{{S}_{{A}'{B}'PM}}}{{{S}_{{A}'{B}'BA}}}=\dfrac{{A}'M+{B}'P}{{A}'A+{B}'B}=\dfrac{\dfrac{1}{2}{A}'A+\dfrac{1}{5}{A}'A}{2{A}'A}=\dfrac{7}{20}$.
$\Rightarrow {{V}_{{C}'.{A}'{B}'PM}}=\dfrac{7}{20}{{V}_{{C}'.{A}'{B}'BA}}=\dfrac{7}{20}.\dfrac{2}{3}V=\dfrac{7}{30}V$.
Do đó ${{V}_{1}}=V-\left( {{V}_{N.ABC}}+{{V}_{{C}'.{A}'{B}'PM}} \right)=V-\left( \dfrac{1}{12}+\dfrac{7}{30} \right)V=\dfrac{41}{60}V$. Suy ra $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{41}{60}$.
A. $\dfrac{41}{60}$.
B. $\dfrac{37}{49}$.
C. $\dfrac{41}{57}$.
D. $\dfrac{2}{3}$.
Mặt khác $\dfrac{{{V}_{{C}'.{A}'{B}'PM}}}{{{V}_{{C}'.{A}'{B}'BA}}}=\dfrac{{{S}_{{A}'{B}'PM}}}{{{S}_{{A}'{B}'BA}}}=\dfrac{{A}'M+{B}'P}{{A}'A+{B}'B}=\dfrac{\dfrac{1}{2}{A}'A+\dfrac{1}{5}{A}'A}{2{A}'A}=\dfrac{7}{20}$.
$\Rightarrow {{V}_{{C}'.{A}'{B}'PM}}=\dfrac{7}{20}{{V}_{{C}'.{A}'{B}'BA}}=\dfrac{7}{20}.\dfrac{2}{3}V=\dfrac{7}{30}V$.
Do đó ${{V}_{1}}=V-\left( {{V}_{N.ABC}}+{{V}_{{C}'.{A}'{B}'PM}} \right)=V-\left( \dfrac{1}{12}+\dfrac{7}{30} \right)V=\dfrac{41}{60}V$. Suy ra $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{41}{60}$.
Đáp án A.