Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là một tam giác vuông cân tại A, $AC=AB=2\text{a}$, góc giữa $A{C}'$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là:
A. $\dfrac{4\text{a}\sqrt{3}}{3}$
B. $\dfrac{2{{\text{a}}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
C. $\dfrac{4{{\text{a}}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{4{{\text{a}}^{2}}\sqrt{3}}{3}$
Vì ${C}'C\bot (ABC)$ nên góc giữa ${C}'A$ và $(ABC)$ là $({C}'A,CA)=\widehat{{C}'AC}=30{}^\circ $ (vì $\widehat{{C}'AC}<90{}^\circ $ ).
Tam giác $AC{C}'$ vuông tại C có $AC=2\text{a},\widehat{{C}'AC}=30{}^\circ $ nên
$C{C}'=AC\tan 30{}^\circ =2\text{a}.\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\text{a}\sqrt{3}}{3}$.
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.C{C}'=\dfrac{1}{2}.AB.AC.A{C}'=\dfrac{1}{2}.2\text{a}.2\text{a}.\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{4{{\text{a}}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
A. $\dfrac{4\text{a}\sqrt{3}}{3}$
B. $\dfrac{2{{\text{a}}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
C. $\dfrac{4{{\text{a}}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{4{{\text{a}}^{2}}\sqrt{3}}{3}$
Vì ${C}'C\bot (ABC)$ nên góc giữa ${C}'A$ và $(ABC)$ là $({C}'A,CA)=\widehat{{C}'AC}=30{}^\circ $ (vì $\widehat{{C}'AC}<90{}^\circ $ ).
Tam giác $AC{C}'$ vuông tại C có $AC=2\text{a},\widehat{{C}'AC}=30{}^\circ $ nên
$C{C}'=AC\tan 30{}^\circ =2\text{a}.\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\text{a}\sqrt{3}}{3}$.
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.C{C}'=\dfrac{1}{2}.AB.AC.A{C}'=\dfrac{1}{2}.2\text{a}.2\text{a}.\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{4{{\text{a}}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án C.