Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A,AC=a,\angle ACB={{60}^{0}}.$ Đường thẳng $BC'$ tạo với mặt phẳng $\left( ACC' \right)$ góc ${{30}^{0}}$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
B. ${{a}^{3}}\sqrt{6}$
C. $2\sqrt{3}{{a}^{3}}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
B. ${{a}^{3}}\sqrt{6}$
C. $2\sqrt{3}{{a}^{3}}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
Phương pháp:
Áp dụng công thức tính thể tích lăng trụ.
Cách giải:
Xét tam giác vuông $ABC$ ta có: $AB=AC.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}.a\sqrt{3}.a=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot AC \\
& AB\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( ACC' \right)\Rightarrow AC' $ là hình chiếu vuông góc của $ BC' $ lên $ \left( ACC' \right).$
$\Rightarrow \angle \left( BC';\left( ACC' \right) \right)=\angle \left( BC';AC' \right)=\angle AC'B={{30}^{0}}.$
Vì $AB\bot \left( ACC' \right)\Rightarrow AB\bot AC'\Rightarrow \Delta ABC'$ vuông tại $A.$
$\Rightarrow AC'=AB.\cot {{30}^{0}}=a\sqrt{3}.\sqrt{3}=3a$
$\Rightarrow CC'=\sqrt{AC{{'}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=2a\sqrt{2}$
Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=CC'.{{S}_{\Delta ABC}}=2a\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}={{a}^{3}}\sqrt{6}$.
Áp dụng công thức tính thể tích lăng trụ.
Cách giải:
Xét tam giác vuông $ABC$ ta có: $AB=AC.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}.a\sqrt{3}.a=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot AC \\
& AB\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( ACC' \right)\Rightarrow AC' $ là hình chiếu vuông góc của $ BC' $ lên $ \left( ACC' \right).$
$\Rightarrow \angle \left( BC';\left( ACC' \right) \right)=\angle \left( BC';AC' \right)=\angle AC'B={{30}^{0}}.$
Vì $AB\bot \left( ACC' \right)\Rightarrow AB\bot AC'\Rightarrow \Delta ABC'$ vuông tại $A.$
$\Rightarrow AC'=AB.\cot {{30}^{0}}=a\sqrt{3}.\sqrt{3}=3a$
$\Rightarrow CC'=\sqrt{AC{{'}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=2a\sqrt{2}$
Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=CC'.{{S}_{\Delta ABC}}=2a\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}={{a}^{3}}\sqrt{6}$.
Đáp án B.