Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C,AB=2a$ và góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( ABC' \right)$ và $\left(...

Phương pháp:
- Xác định thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi $\left( AMN \right).$
- Sử dụng định lí: Giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt hoặc đôi một song song, hoặc đồng quy.
- Sử dụng tỉ lệ thể tích Simpson.
- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Áp dụng côn thức tính thể tích lăng trụ: $V=Bh$ trong đó $B,h$ lần lượt là chiều cao và diện tích đáy.
Cách giải:

Giả sử $\left( AMN \right)\cap \left( A'B'C' \right)=MP$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( AMN \right)\cap \left( ABC \right)=AN \\
& \left( AMN \right)\cap \left( A'B'C' \right)=MP \\
& \left( ABC \right)//\left( A'B'C' \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AN//MP. $ Khi đó $ \left( AMN \right)=\left( AMPN \right) $ và thiết diện của lăng trụ cắt bởi $ \left( AMN \right) $ là tứ giác $ AMPN. $ Và mặt phẳng này chia khối lăng trụ thành hai phần: $ ANC.MPC' $ và $ ABN.A'B'PM.$
Ta lại có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( AMPN \right)\cap \left( ACC'A' \right)=AM \\
& \left( AMPN \right)\cap \left( BCC'B' \right)=PN \\
& \left( ACC'A' \right)\cap \left( BCC'B' \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AM,PN,CC' $ đồng quy tại $ S.$
Gọi $F$ là trung điểm của $B'C'$ ta có $A'F//AN//MP,$ do đó $MP$ là đường trung bình của tam giác $A'C'F$
$\Rightarrow \dfrac{MP}{A'F}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{MP}{AN}.$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{MP}{AN}=\dfrac{SP}{SN}=\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{SC'}{SC}=\dfrac{1}{2}.$
Khi đó ta có: $\dfrac{{{V}_{S.MPC'}}}{{{V}_{S.ANC}}}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SP}{SN}.\dfrac{SC'}{SC}=\dfrac{1}{8}\Rightarrow {{V}_{S.MNC'}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{S.ANC}}\Rightarrow {{V}_{ANC.MPC'}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{S.ANC}}.$
Ta có: ${{V}_{S.ANC}}=\dfrac{1}{3}SC.{{S}_{ANC}}=\dfrac{1}{3}.2CC'.\dfrac{1}{2}{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}}.$
$\Rightarrow {{V}_{ABC.MPC'}}=\dfrac{7}{24}{{V}_{ABC.A'B'C'}},$ do đó $ANC.MPC'$ là phần có thể tích nhỏ hơn.
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ có $AB=2a\Rightarrow AC=BC=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}.$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AC.BC=\dfrac{1}{2}.a\sqrt{2}.a\sqrt{2}={{a}^{2}}.$
Gọi $E$ là trung điểm của $AB$ ta có: $CE\bot AB$ (do tam giác $ABC$ vuông cân tại $C).$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB\bot CE \\
& AB\bot CC' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( CC'E \right)\Rightarrow AB\bot C'E.$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( ABC \right)\cap \left( ABC' \right)=AB \\
& CE\subset \left( ABC \right),CE\bot AB \\
& C'E\subset \left( ABC' \right),C'E\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( ABC \right);\left( ABC' \right) \right)=\angle \left( CE;C'E \right)=\angle CEC'={{60}^{0}}.$
Xét tam giác vuông $CC'E$ có $CE=\dfrac{1}{2}AB=a,\angle CEC'={{60}^{0}}\Rightarrow CC'=CE.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}.$
$\Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}=CC'.{{S}_{\Delta ABC}}=a\sqrt{3}.{{a}^{2}}={{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Vậy ${{V}_{ANC.MPC'}}=\dfrac{7}{24}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}.$