Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông, $AB=AC=a,A'A=a\sqrt{2}.$ $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $A'A$. Tính thể...

Phương pháp:
- So sánh ${{S}_{A'MB}}$ và ${{S}_{ABB'A'}},$ từ đó so sánh ${{V}_{C'.A'MB}}$ và ${{V}_{C'.ABB'A'}}.$
- Sử dụng: ${{V}_{C'ABB'A'}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}},$ tính ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{ABC}}.$
Cách giải:
Ta có: ${{S}_{A'MB}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{A'.AB}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ABB'A'}}$ nên ${{V}_{C.ABB'A'}}.$
Mà ${{V}_{C.ABB'A'}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}}$ nên ${{V}_{MA'BC'}}={{V}_{C'.A'MB}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{ABC.A'B'C'}}.$
Vì tam giác $ABC$ vuông và có $AB=AC=a$ nên $\Delta ABC$ vuông cân tại $A,$ suy ra ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.$
$\Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{ABC}}=a\sqrt{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}.$
Vậy ${{V}_{MA'BC'}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$