Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AB=3a,BC'=4a$ và $\widehat{BAC}={{30}^{0}}$. Gọi M là trung điểm của cạnh $BB'$ và $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua M và song song với $AB,BC'$. Biết thiết diện của lăng trụ $ABC.A'B'C'$ cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có chu vi bằng $9a$. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. $24\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $10\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{4\sqrt{13}{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{39}}{2}$.
Ta thấy $\left( \alpha \right)\cap \left( ABB'A' \right)=MN$ với $N$ là trung điểm của $AA'$, $MN\parallel AB,MN=AB=3a$
$\left( \alpha \right)\cap \left( BB'C'C \right)=MQ$ với $Q$ là trung điểm của $B'C'$, $MQ\parallel BC',MQ=\dfrac{1}{2}BC'=2a$
$\left( \alpha \right)\cap \left( A'B'C' \right)=PQ$ với P là trung điểm của $A'C'$, $PQ\parallel A'B',PQ=\dfrac{1}{2}A'B'=\dfrac{3a}{2}$
$\left( \alpha \right)\cap \left( ACC'A' \right)=NP$, $NP\parallel AC',NP=\dfrac{1}{2}AC'$
Vậy thiết diện là hình thang $MNPQ$
Mà chu vi của thiết diện là $9a$ nên suy ra $NP=9a-3a-\dfrac{3a}{2}-2a=\dfrac{5a}{2}\Rightarrow AC'=5a$
Gọi chiều dài $AC=x,BC=y$ $(x>0,y>0)$
Áp dụng định lý Côsin vào tam giác $ABC$ ta có
$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos A\Leftrightarrow {{y}^{2}}={{x}^{2}}+9{{a}^{2}}-3a.x.\sqrt{3}$ (1)
Áp dụng định lý Pitago vào hai tam giác vuông $AA'C,BB'C$
Ta có $AA{{'}^{2}}=25{{a}^{2}}-{{x}^{2}}$ ; $BB{{'}^{2}}=16{{a}^{2}}-{{y}^{2}}$
Suy ra $25{{a}^{2}}-{{x}^{2}}=16{{a}^{2}}-{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{y}^{2}}={{x}^{2}}-9{{a}^{2}}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $x=2\sqrt{3}a\Rightarrow AA'=a\sqrt{13}$
Vậy $V={{S}_{ABC}}.AA'=\dfrac{1}{2}.3a.2\sqrt{3}a.\sin {{30}^{0}}.a\sqrt{13}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{39}}{2}$
A. $24\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $10\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{4\sqrt{13}{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{39}}{2}$.
$\left( \alpha \right)\cap \left( BB'C'C \right)=MQ$ với $Q$ là trung điểm của $B'C'$, $MQ\parallel BC',MQ=\dfrac{1}{2}BC'=2a$
$\left( \alpha \right)\cap \left( A'B'C' \right)=PQ$ với P là trung điểm của $A'C'$, $PQ\parallel A'B',PQ=\dfrac{1}{2}A'B'=\dfrac{3a}{2}$
$\left( \alpha \right)\cap \left( ACC'A' \right)=NP$, $NP\parallel AC',NP=\dfrac{1}{2}AC'$
Vậy thiết diện là hình thang $MNPQ$
Mà chu vi của thiết diện là $9a$ nên suy ra $NP=9a-3a-\dfrac{3a}{2}-2a=\dfrac{5a}{2}\Rightarrow AC'=5a$
Gọi chiều dài $AC=x,BC=y$ $(x>0,y>0)$
Áp dụng định lý Côsin vào tam giác $ABC$ ta có
$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos A\Leftrightarrow {{y}^{2}}={{x}^{2}}+9{{a}^{2}}-3a.x.\sqrt{3}$ (1)
Áp dụng định lý Pitago vào hai tam giác vuông $AA'C,BB'C$
Ta có $AA{{'}^{2}}=25{{a}^{2}}-{{x}^{2}}$ ; $BB{{'}^{2}}=16{{a}^{2}}-{{y}^{2}}$
Suy ra $25{{a}^{2}}-{{x}^{2}}=16{{a}^{2}}-{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{y}^{2}}={{x}^{2}}-9{{a}^{2}}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $x=2\sqrt{3}a\Rightarrow AA'=a\sqrt{13}$
Vậy $V={{S}_{ABC}}.AA'=\dfrac{1}{2}.3a.2\sqrt{3}a.\sin {{30}^{0}}.a\sqrt{13}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{39}}{2}$
Đáp án D.