Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có độ dài cạnh bên bằng $2a$, đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ ; $CA=CB=a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $A{A}'$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $M{C}'$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{a}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{2a}{3}$.
Gọi $E$ là trung điểm của cạnh $C{C}'$ $\Rightarrow AE\text{//}M{C}', \left( E\in C{C}' \right)$.
$d\left( AB,M{C}' \right)=d\left( M{C}',\left( EAB \right) \right)=d\left( C,\left( EAB \right) \right)=d\left( {C}',\left( EAB \right) \right)$.
Gọi $K$ là trung điểm của cạnh $AB$ $\Rightarrow AB\bot \left( EKC \right)$,
Dựng $CH\bot EK, \left( H\in EK \right)$ $\Rightarrow CH\bot \left( EAB \right)$. Khi đó $d\left( C,\left( ABE \right) \right)=CH$.
Xét tam giác $ECK$ vuông tại $C$ có $CK=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}; CE=\dfrac{C{C}'}{2}=a$.
$CH=\dfrac{CK.CE}{\sqrt{C{{K}^{2}}+C{{E}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.a}{\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{2}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $M{C}'$ là $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{a}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{2a}{3}$.
$d\left( AB,M{C}' \right)=d\left( M{C}',\left( EAB \right) \right)=d\left( C,\left( EAB \right) \right)=d\left( {C}',\left( EAB \right) \right)$.
Gọi $K$ là trung điểm của cạnh $AB$ $\Rightarrow AB\bot \left( EKC \right)$,
Dựng $CH\bot EK, \left( H\in EK \right)$ $\Rightarrow CH\bot \left( EAB \right)$. Khi đó $d\left( C,\left( ABE \right) \right)=CH$.
Xét tam giác $ECK$ vuông tại $C$ có $CK=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}; CE=\dfrac{C{C}'}{2}=a$.
$CH=\dfrac{CK.CE}{\sqrt{C{{K}^{2}}+C{{E}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.a}{\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{2}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $M{C}'$ là $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án A.