Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng $\left( {{A}_{1}}BC \right)$ tạo với đáy góc $30{}^\circ $ và tam giác ${{A}_{1}}BC$ có diện tích bằng 8. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.
A. $V=64\sqrt{3}.$
B. $V=2\sqrt{3}.$
C. $V=16\sqrt{3}.$
D. $V=8\sqrt{3}.$
Ta có: $\Delta ABC$ là hình chiếu của $\Delta {{A}_{1}}BC$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
Do đó: ${{S}_{\Delta ABC}}={{S}_{\Delta {{A}_{1}}BC}}.\cos \alpha $, với $\alpha =\widehat{\left[ \left( {{A}_{1}}BC \right),\left( ABC \right) \right]}=30{}^\circ $ $\Rightarrow {{S}_{ABC}}=8\cos 30{}^\circ =4\sqrt{3}$.
Mà $\Delta ABC$ đều $\Rightarrow AB=BC=AC=4$.
Kẻ $AM$ vuông góc $BC$ tại $M$.
Khi đó $BC\bot \left( {{A}_{1}}MA \right)$ $\Rightarrow \widehat{\left[ \left( {{A}_{1}}BC \right),\left( ABC \right) \right]}=\widehat{{{A}_{1}}MA}=30{}^\circ $
$\Rightarrow {{A}_{1}}A=AM.tan30{}^\circ =\dfrac{4\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=2$.
Thể tích lăng trụ đã cho là $V={{S}_{ABC}}.{{A}_{1}}A=4\sqrt{3}.2=8\sqrt{3}.$
A. $V=64\sqrt{3}.$
B. $V=2\sqrt{3}.$
C. $V=16\sqrt{3}.$
D. $V=8\sqrt{3}.$
Do đó: ${{S}_{\Delta ABC}}={{S}_{\Delta {{A}_{1}}BC}}.\cos \alpha $, với $\alpha =\widehat{\left[ \left( {{A}_{1}}BC \right),\left( ABC \right) \right]}=30{}^\circ $ $\Rightarrow {{S}_{ABC}}=8\cos 30{}^\circ =4\sqrt{3}$.
Mà $\Delta ABC$ đều $\Rightarrow AB=BC=AC=4$.
Kẻ $AM$ vuông góc $BC$ tại $M$.
Khi đó $BC\bot \left( {{A}_{1}}MA \right)$ $\Rightarrow \widehat{\left[ \left( {{A}_{1}}BC \right),\left( ABC \right) \right]}=\widehat{{{A}_{1}}MA}=30{}^\circ $
$\Rightarrow {{A}_{1}}A=AM.tan30{}^\circ =\dfrac{4\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=2$.
Thể tích lăng trụ đã cho là $V={{S}_{ABC}}.{{A}_{1}}A=4\sqrt{3}.2=8\sqrt{3}.$
Đáp án D.