Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=3a$ và $BC=4a$. Gọi $M$ là trung điểm của ${B}'{C}'$, biết khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left( {B}'AC \right)$ bằng $\dfrac{6a}{13}$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.
A. $V=6{{a}^{3}}$.
B. $V=12{{a}^{3}}$.
C. $V=4{{a}^{3}}$.
D. $V=2{{a}^{3}}$.
Ta có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{1}{2}.3a.4a=6{{a}^{2}}$.
Gọi $H$ là giao điểm của $MB$ và ${B}'C$. Khi đó, theo định lý Ta-let ta có $\dfrac{HM}{HB}=\dfrac{MB'}{BC}=\dfrac{1}{2}$.
Ta có $\dfrac{d\left( M,\left( {B}'AC \right) \right)}{d\left( B,\left( {B}'AC \right) \right)}=\dfrac{MH}{BH}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d\left( B,\left( {B}'AC \right) \right)=2d\left( M,\left( {B}'AC \right) \right)=\dfrac{12a}{13}$.
Từ $B$ dựng $BK$ vuông góc với $AC$ với $K\in AC$. Kẻ $BI$ vuông góc với ${B}'K$ với $I\in {B}'K$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BI\bot {B}'K \\
& BI\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BI\bot \left( {B}'AC \right)\Rightarrow BI=d\left( B,\left( {B}'AC \right) \right)=\dfrac{12a}{13}$.
Ta có $AC=5a$, $BK.AC=BA.BC\Leftrightarrow BK=\dfrac{3a.4a}{5a}=\dfrac{12a}{5}$.
$\dfrac{1}{B{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{BB{{'}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{12a}{13} \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{12a}{5} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Leftrightarrow B{{{B}'}^{2}}={{a}^{2}}\Leftrightarrow B{B}'=a$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.B{B}'=6{{a}^{2}}.a=6{{a}^{3}}$.
B. $V=12{{a}^{3}}$.
C. $V=4{{a}^{3}}$.
D. $V=2{{a}^{3}}$.
Gọi $H$ là giao điểm của $MB$ và ${B}'C$. Khi đó, theo định lý Ta-let ta có $\dfrac{HM}{HB}=\dfrac{MB'}{BC}=\dfrac{1}{2}$.
Ta có $\dfrac{d\left( M,\left( {B}'AC \right) \right)}{d\left( B,\left( {B}'AC \right) \right)}=\dfrac{MH}{BH}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d\left( B,\left( {B}'AC \right) \right)=2d\left( M,\left( {B}'AC \right) \right)=\dfrac{12a}{13}$.
Từ $B$ dựng $BK$ vuông góc với $AC$ với $K\in AC$. Kẻ $BI$ vuông góc với ${B}'K$ với $I\in {B}'K$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BI\bot {B}'K \\
& BI\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BI\bot \left( {B}'AC \right)\Rightarrow BI=d\left( B,\left( {B}'AC \right) \right)=\dfrac{12a}{13}$.
Ta có $AC=5a$, $BK.AC=BA.BC\Leftrightarrow BK=\dfrac{3a.4a}{5a}=\dfrac{12a}{5}$.
$\dfrac{1}{B{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{BB{{'}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{12a}{13} \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{12a}{5} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Leftrightarrow B{{{B}'}^{2}}={{a}^{2}}\Leftrightarrow B{B}'=a$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.B{B}'=6{{a}^{2}}.a=6{{a}^{3}}$.
Đáp án A.