Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân, $AB=AC=2,$ $\widehat{BAC}=120{}^\circ .$ Mặt phẳng $\left( A{B}'{C}' \right)$ tạo với mặt đáy một góc $60{}^\circ .$ Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.
A. $V=3.$
B. $V=\dfrac{8}{3}.$
C. $V=\dfrac{3}{8}.$
D. $V=\dfrac{3}{4}.$
Gọi $H$ là trung điểm ${B}'{C}'$. Ta có ${A}'H\bot {B}'{C}'$, do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( A{B}'{C}' \right)$ và $\left( ABC \right)$ là $\widehat{AH{A}'}=60{}^\circ $. Có ${A}'H={A}'B.\cos 60{}^\circ =2.\dfrac{1}{2}=1$.
Trong tam giác ${A}'{B}'{C}'$ có ${{S}_{{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{2}{A}'{B}'.{A}'{C}'.\sin \widehat{{B}'{A}'{C}'}=\dfrac{1}{2}.2.2.\sin 120{}^\circ =\sqrt{3}$.
Trong tam giác $AH{A}'$ vuông tại ${A}'$ ta có : $A{A}'={A}'H.\tan 60{}^\circ =\sqrt{3}$.
Do đó ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{{A}'{B}'{C}'}}.A{A}'=\sqrt{3}.\sqrt{3}=3.$
A. $V=3.$
B. $V=\dfrac{8}{3}.$
C. $V=\dfrac{3}{8}.$
D. $V=\dfrac{3}{4}.$
Trong tam giác ${A}'{B}'{C}'$ có ${{S}_{{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{2}{A}'{B}'.{A}'{C}'.\sin \widehat{{B}'{A}'{C}'}=\dfrac{1}{2}.2.2.\sin 120{}^\circ =\sqrt{3}$.
Trong tam giác $AH{A}'$ vuông tại ${A}'$ ta có : $A{A}'={A}'H.\tan 60{}^\circ =\sqrt{3}$.
Do đó ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{{A}'{B}'{C}'}}.A{A}'=\sqrt{3}.\sqrt{3}=3.$
Đáp án A.