Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,$ $AB=a$. Biết khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$. Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Suy ra $AM\bot BC$.
Khi đó $BC\bot \left( {A}'AM \right)$.
Trong $\left( {A}'BC \right)$ kẻ $AK\bot {A}'M$ với $K\in {A}'M$.
Khi đó $AK\bot \left( {A}'BC \right)\Rightarrow \text{d}\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)=AK=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Trong $\Delta {A}'AM$ vuông tại $A$ ta có $AM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ ; $AK=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Ta có $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}=\dfrac{9}{3{{a}^{2}}}-\dfrac{4}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Leftrightarrow {A}'A=a$.
Vậy thể tích của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là $V=A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=a.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
Khi đó $BC\bot \left( {A}'AM \right)$.
Trong $\left( {A}'BC \right)$ kẻ $AK\bot {A}'M$ với $K\in {A}'M$.
Khi đó $AK\bot \left( {A}'BC \right)\Rightarrow \text{d}\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)=AK=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Trong $\Delta {A}'AM$ vuông tại $A$ ta có $AM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ ; $AK=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Ta có $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}=\dfrac{9}{3{{a}^{2}}}-\dfrac{4}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Leftrightarrow {A}'A=a$.
Vậy thể tích của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là $V=A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=a.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
Đáp án D.