Cho khối lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ là tam giác...

The Funny · 21/5/23

Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy

A B C

là tam giác vuông cân tại

A,

A B = a

. Biết khoảng cách từ

A

đến mặt phẳng

(A^{'} B C)

bằng

\frac{\sqrt{3}}{3} a

. Tính thể tích của khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'} .

A.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}

.
B.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}

.
C.

\frac{a^{3}}{2}

.
D.

\frac{a^{3}}{6}

Gọi

M

là trung điểm của

B C

. Suy ra

A M ⊥ B C

.
Khi đó

B C ⊥ (A^{'} A M)

.
Trong

(A^{'} B C)

kẻ

A K ⊥ A^{'} M

với

K \in A^{'} M

.
Khi đó

A K ⊥ (A^{'} B C) \Rightarrow d (A, (A^{'} B C)) = A K = \frac{a \sqrt{3}}{3}

.
Trong

Δ A^{'} A M

vuông tại

A

ta có

A M = \frac{B C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}

;

A K = \frac{a \sqrt{3}}{3}

.
Ta có

\frac{1}{A K^{2}} = \frac{1}{A^{'} A^{2}} + \frac{1}{A M^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{A^{'} A^{2}} = \frac{1}{A K^{2}} - \frac{1}{A M^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{A^{'} A^{2}} = \frac{9}{3 a^{2}} - \frac{4}{2 a^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \Leftrightarrow A^{'} A = a

.
Vậy thể tích của khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

là

V = A A^{'} . S_{Δ A B C} = a . \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3}}{2}

.

Đáp án D.

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác...