Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$, $AB=2a$ và góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( AB{C}' \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng $60{}^\circ $. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của ${A}'{C}'$ và $BC$. Mặt phẳng $\left( AMN \right)$ chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng
A. $\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{6}$.
C. $\dfrac{7\sqrt{6}{{a}^{3}}}{24}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
Gọi $I$ là trung điểm $AB$, suy ra $AB\bot \left( CI{C}' \right)$ nên góc giữa $\left( {C}'AB \right)$ và $\left( ABC \right)$ là góc $\left( CI,{C}'I \right)$, suy ra $\widehat{{C}'IC}=60{}^\circ $.
Tam giác ${C}'IC$ vuông tại $C$ nên ${C}'C=CI\cdot \tan \widehat{{C}'IC}=\dfrac{AB}{2}\cdot \tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}$.
Diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot CI={{a}^{2}}$.
Thể tích khối lăng trụ là $V=C{C}'\cdot {{S}_{ABC}}=a\sqrt{3}\cdot {{a}^{2}}={{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Trong $\left( AC{C}'{A}' \right)$, kéo dài $AM$ cắt $C{C}'$ tại $O$.
Suy ra ${C}'M$ là đường trung bình của $\Delta OAC$, do đó $OC=2C{C}'=2a\sqrt{3}$.
Thể tích khối chóp ${{V}_{O.ACN}}=\dfrac{1}{3}\cdot {{S}_{ACN}}\cdot OC=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot {{S}_{ABC}}\cdot 2C{C}'=\dfrac{1}{3}V$.
Thể tích khối chóp ${{V}_{O.{C}'ME}}=\dfrac{1}{3}\cdot {{S}_{{C}'ME}}\cdot O{C}'=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{8}{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}\cdot O{C}'=\dfrac{1}{24}V$.
Do đó ${{V}_{{C}'EM.CAN}}={{V}_{O.ACN}}-{{V}_{O.{C}'ME}}=\dfrac{1}{3}V-\dfrac{1}{24}V=\dfrac{7}{24}V=\dfrac{7}{24}\cdot {{a}^{3}}\sqrt{3}=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$.
Vậy phần thể tích nhỏ hơn là ${{V}_{{C}'EM.CAN}}=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$.
A. $\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{6}$.
C. $\dfrac{7\sqrt{6}{{a}^{3}}}{24}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
Tam giác ${C}'IC$ vuông tại $C$ nên ${C}'C=CI\cdot \tan \widehat{{C}'IC}=\dfrac{AB}{2}\cdot \tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}$.
Diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot CI={{a}^{2}}$.
Thể tích khối lăng trụ là $V=C{C}'\cdot {{S}_{ABC}}=a\sqrt{3}\cdot {{a}^{2}}={{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Trong $\left( AC{C}'{A}' \right)$, kéo dài $AM$ cắt $C{C}'$ tại $O$.
Suy ra ${C}'M$ là đường trung bình của $\Delta OAC$, do đó $OC=2C{C}'=2a\sqrt{3}$.
Thể tích khối chóp ${{V}_{O.ACN}}=\dfrac{1}{3}\cdot {{S}_{ACN}}\cdot OC=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot {{S}_{ABC}}\cdot 2C{C}'=\dfrac{1}{3}V$.
Thể tích khối chóp ${{V}_{O.{C}'ME}}=\dfrac{1}{3}\cdot {{S}_{{C}'ME}}\cdot O{C}'=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{8}{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}\cdot O{C}'=\dfrac{1}{24}V$.
Do đó ${{V}_{{C}'EM.CAN}}={{V}_{O.ACN}}-{{V}_{O.{C}'ME}}=\dfrac{1}{3}V-\dfrac{1}{24}V=\dfrac{7}{24}V=\dfrac{7}{24}\cdot {{a}^{3}}\sqrt{3}=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$.
Vậy phần thể tích nhỏ hơn là ${{V}_{{C}'EM.CAN}}=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$.
Đáp án A.