Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$, $A{A}'=2a$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
A. $R=2a\sqrt{2}$.
B. $R=a$.
C. $R=a\sqrt{2}$.
D. $R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Gọi $M , N$ lần lượt là trung điểm của $BC , B{B}'$.
Dựng $\Delta $ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Trong mặt phẳng $\left( B{B}'{C}'C \right)$ dựng trung trực $d$ của cạnh $B{B}'$.
Gọi $I=d\cap \Delta $ $\Rightarrow I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
Bán kính $R$ mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là: $R=IB=\sqrt{B{{N}^{2}}+B{{M}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{A{{{{A}'}}^{2}}}{4}+\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}}$.
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông $ABC\left( \widehat{A}=90{}^\circ \right)$ có: $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$.
$\Rightarrow R=\sqrt{\dfrac{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}}{2}=a\sqrt{2}$.
A. $R=2a\sqrt{2}$.
B. $R=a$.
C. $R=a\sqrt{2}$.
D. $R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Gọi $M , N$ lần lượt là trung điểm của $BC , B{B}'$.
Dựng $\Delta $ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Trong mặt phẳng $\left( B{B}'{C}'C \right)$ dựng trung trực $d$ của cạnh $B{B}'$.
Gọi $I=d\cap \Delta $ $\Rightarrow I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
Bán kính $R$ mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là: $R=IB=\sqrt{B{{N}^{2}}+B{{M}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{A{{{{A}'}}^{2}}}{4}+\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}}$.
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông $ABC\left( \widehat{A}=90{}^\circ \right)$ có: $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$.
$\Rightarrow R=\sqrt{\dfrac{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}}{2}=a\sqrt{2}$.
Đáp án C.