Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $BC=a,AC=2a,$ tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và mặt phẳng $\left( A{B}'{C}' \right)$ tạo với đáy một góc ${{30}^{o}}.$ Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng.
A. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}{{a}^{3}}$.
D. $\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có: $A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}=A{{B}^{2}}+{{a}^{2}}\Leftrightarrow AB=a\sqrt{3}$
Và ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}BA.BC=\dfrac{1}{2}a\sqrt{3}.a=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {B}'{C}'\bot {A}'{B}' \\
& {B}'{C}'\bot {B}'{B}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {B}'{C}'\bot \left( {A}'{B}'BA \right)\Rightarrow {B}'{C}'\bot A{B}'$
Góc giữa mặt phẳng $\left( A{B}'{C}' \right)$ với đáy là góc $\widehat{A{B}'{A}'}={{30}^{o}}.$
$\tan \widehat{A{B}'{A}'}=\dfrac{A{A}'}{{A}'{B}'}\Rightarrow A{A}'={A}'{B}'\tan \widehat{A{B}'{A}'}$ $={A}'{B}'\tan {{30}^{o}}$ $=a\sqrt{3}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=a.$
Thể tích khối lăng trụ: $V=A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=a.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
A. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}{{a}^{3}}$.
D. $\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Và ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}BA.BC=\dfrac{1}{2}a\sqrt{3}.a=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {B}'{C}'\bot {A}'{B}' \\
& {B}'{C}'\bot {B}'{B}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {B}'{C}'\bot \left( {A}'{B}'BA \right)\Rightarrow {B}'{C}'\bot A{B}'$
Góc giữa mặt phẳng $\left( A{B}'{C}' \right)$ với đáy là góc $\widehat{A{B}'{A}'}={{30}^{o}}.$
$\tan \widehat{A{B}'{A}'}=\dfrac{A{A}'}{{A}'{B}'}\Rightarrow A{A}'={A}'{B}'\tan \widehat{A{B}'{A}'}$ $={A}'{B}'\tan {{30}^{o}}$ $=a\sqrt{3}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=a.$
Thể tích khối lăng trụ: $V=A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=a.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
Đáp án B.
