Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $a$. Khoảng cách từ điểm $A'$ đến mặt phẳng $\left( AB'C' \right)$ bằng $\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $B'C'$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AA'\bot B'C' \\
& A'M\bot B'C' \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow B'C'\bot \left( AA'M \right) $ $ \Rightarrow \left( AB'C' \right)\bot \left( AA'M \right) $ theo giao tuyến $ AM$.
Kẻ $A'H\bot AM$ trong mặt phẳng $\left( AA'M \right)$, suy ra $\Rightarrow A'H\bot \left( AB'C' \right)$.
Vậy khoảng cách từ $A'$ đến mặt phẳng $\left( AB'C' \right)$ là $A'H=\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$.
Ta có $\dfrac{1}{A'{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A'{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A'{{M}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{A'{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{A'{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{A'{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow A'A=2a$.
Vậy thể tích khối lăng trụ là $V=AA'.{{S}_{A'B'C'}}=2a.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $B'C'$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AA'\bot B'C' \\
& A'M\bot B'C' \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow B'C'\bot \left( AA'M \right) $ $ \Rightarrow \left( AB'C' \right)\bot \left( AA'M \right) $ theo giao tuyến $ AM$.
Kẻ $A'H\bot AM$ trong mặt phẳng $\left( AA'M \right)$, suy ra $\Rightarrow A'H\bot \left( AB'C' \right)$.
Vậy khoảng cách từ $A'$ đến mặt phẳng $\left( AB'C' \right)$ là $A'H=\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$.
Ta có $\dfrac{1}{A'{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A'{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A'{{M}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{A'{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{A'{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{A'{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow A'A=2a$.
Vậy thể tích khối lăng trụ là $V=AA'.{{S}_{A'B'C'}}=2a.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án C.