Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AB=a\sqrt{3}$ và AD = a . Hình chiếu vuông góc của điểm 'A trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ trùng với giao điểm O của AC và BD . Tính khoảng cách từ điểm 'B đến mặt phẳng ( 'A BD ) theo .a
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Phương pháp:
Tính khoảng cách từ $B'$ đến mặt phẳng $\left( 'ABD \right)$ bằng phương pháp đổi đỉnh.
Cách giải:
Gọi 'O là giao điểm của 'A B và AB '.
Ta có: $\dfrac{BO'}{AO'}=1\Rightarrow \dfrac{d\left( B';\left( A'BD \right) \right)}{d\left( A;A'BD \right)}=1$
$\Leftrightarrow d\left( B';\left( A'BD \right) \right)=d\left( A;\left( A'BD \right) \right).$
Kẻ $AH\bot BD$, ta có: $A'O\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow A'O\bot AH$
$\Rightarrow AH\bot \left( ABD' \right)\Rightarrow d\left( A;\left( ABD' \right) \right)=AH$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABD vuông tại A có đường cao AH ta có:
$AH=\dfrac{AB.AD}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\dfrac{a.a\sqrt{3}}{\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Tính khoảng cách từ $B'$ đến mặt phẳng $\left( 'ABD \right)$ bằng phương pháp đổi đỉnh.
Cách giải:
Gọi 'O là giao điểm của 'A B và AB '.
Ta có: $\dfrac{BO'}{AO'}=1\Rightarrow \dfrac{d\left( B';\left( A'BD \right) \right)}{d\left( A;A'BD \right)}=1$
$\Leftrightarrow d\left( B';\left( A'BD \right) \right)=d\left( A;\left( A'BD \right) \right).$
Kẻ $AH\bot BD$, ta có: $A'O\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow A'O\bot AH$
$\Rightarrow AH\bot \left( ABD' \right)\Rightarrow d\left( A;\left( ABD' \right) \right)=AH$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABD vuông tại A có đường cao AH ta có:
$AH=\dfrac{AB.AD}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\dfrac{a.a\sqrt{3}}{\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Đáp án B.