Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là tâm của các mặt bên của khối lăng trụ và G là trọng tâm của tam giác ABC. Thể tích của khối tứ diện GMNP bằng:
A. $\dfrac{V}{24}.$
B. $\dfrac{V}{8}.$
C. $\dfrac{V}{12}.$
D. $\dfrac{V}{16}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& MN//A'C,MN=\dfrac{1}{2}A'C' \\
& NP//A'B',NP=\dfrac{1}{2}A'B' \\
& PM//B'C',PM=\dfrac{1}{2}B'C' \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó $\left( MNP \right)//\left( A'B'C' \right)$ và $\Delta MNP$ đồng dạng với $\Delta C'A'B'$ theo tỉ số $k=\dfrac{1}{2}$.
$\Rightarrow {{S}_{MNP}}={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}.{{S}_{A'B'C'}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{A'B'C'}}$.
Khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đường cao $h\Rightarrow d\left( G;\left( MNP \right) \right)=\dfrac{h}{2}\Rightarrow {{V}_{GMNP}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{h}{2}.\dfrac{1}{4}.{{S}_{A'B'C'}}$.
Bài ra có ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=h.{{S}_{A'B'C'}}=V\Rightarrow {{V}_{GMNP}}=\dfrac{V}{24}$.
A. $\dfrac{V}{24}.$
B. $\dfrac{V}{8}.$
C. $\dfrac{V}{12}.$
D. $\dfrac{V}{16}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& MN//A'C,MN=\dfrac{1}{2}A'C' \\
& NP//A'B',NP=\dfrac{1}{2}A'B' \\
& PM//B'C',PM=\dfrac{1}{2}B'C' \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó $\left( MNP \right)//\left( A'B'C' \right)$ và $\Delta MNP$ đồng dạng với $\Delta C'A'B'$ theo tỉ số $k=\dfrac{1}{2}$.
$\Rightarrow {{S}_{MNP}}={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}.{{S}_{A'B'C'}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{A'B'C'}}$.
Khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đường cao $h\Rightarrow d\left( G;\left( MNP \right) \right)=\dfrac{h}{2}\Rightarrow {{V}_{GMNP}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{h}{2}.\dfrac{1}{4}.{{S}_{A'B'C'}}$.
Bài ra có ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=h.{{S}_{A'B'C'}}=V\Rightarrow {{V}_{GMNP}}=\dfrac{V}{24}$.
Đáp án A.