Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng 1. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AA'$ và $BB'$. Đường thẳng $CM$ cắt đường thẳng $C'A'$ tại $P$, đường thẳng $CN$ cắt đường thẳng $C'B'$ tại $Q$. Thể tích của khối đa diện lồi $A'MPB'NQ$ bằng
A. $1.$
B. $\dfrac{1}{3}.$
C. $\dfrac{1}{2}.$
D. $\dfrac{2}{3}.$
Hướng Dẫn. Ta có ${{V}_{C.ABNM}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{C.A'B'BA}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{1}{3}.$
Suy ra ${{V}_{CMNA'B'C'}}=\dfrac{2}{3}$. Tam giác $C'QP$ đồng dạng với tam giác $C'B'A'$ với tỉ số 2 nên ${{S}_{C'QP}}=4{{S}_{A'B'C'}}.$
Suy ra
${{V}_{CC'QP}}=\dfrac{1}{3}.{{d}_{\left( C;\left( A'B'C' \right) \right)}}.{{S}_{C'QP}}=4.\dfrac{1}{3}{{d}_{\left( C;\left( A'B'C' \right) \right)}}.{{S}_{A'B'C'}}=\dfrac{4}{3}{{V}_{C.A'B'C'}}=\dfrac{4}{3}$
Ta được ${{V}_{A'MPB'NQ}}={{V}_{CC'QP}}-{{V}_{CMNA'B'C'}}=\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}.$
A. $1.$
B. $\dfrac{1}{3}.$
C. $\dfrac{1}{2}.$
D. $\dfrac{2}{3}.$
Hướng Dẫn. Ta có ${{V}_{C.ABNM}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{C.A'B'BA}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{1}{3}.$
Suy ra ${{V}_{CMNA'B'C'}}=\dfrac{2}{3}$. Tam giác $C'QP$ đồng dạng với tam giác $C'B'A'$ với tỉ số 2 nên ${{S}_{C'QP}}=4{{S}_{A'B'C'}}.$
Suy ra
${{V}_{CC'QP}}=\dfrac{1}{3}.{{d}_{\left( C;\left( A'B'C' \right) \right)}}.{{S}_{C'QP}}=4.\dfrac{1}{3}{{d}_{\left( C;\left( A'B'C' \right) \right)}}.{{S}_{A'B'C'}}=\dfrac{4}{3}{{V}_{C.A'B'C'}}=\dfrac{4}{3}$
Ta được ${{V}_{A'MPB'NQ}}={{V}_{CC'QP}}-{{V}_{CMNA'B'C'}}=\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}.$
Đáp án D.