Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $A'B=4a$. Gọi M là trung điểm của cạnh $BB' v\grave{a} CM=a\sqrt{2}$. Biết khoảng cách giữa $A'B$ và CM bằng a và góc tạo bởi hai đường thẳng $A'B$ và CM là ${{30}^{o}}$ (tham khảo hình bên), thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng
A. $2\sqrt{2}{{a}^{3}}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$
C. $6\sqrt{2}{{a}^{3}}$
D. $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$
A. $2\sqrt{2}{{a}^{3}}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$
C. $6\sqrt{2}{{a}^{3}}$
D. $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$
Gọi N là trung điểm của $A'B'$, khi đó: $NM//A'B'$
Suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& MN=\dfrac{AB}{2}=2a \\
& \widehat{\left( A'B,CM \right)}=\widehat{\left( NM,CM \right)}={{30}^{o}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{S}_{CMN}}=\dfrac{1}{2}MN.CM.\sin \left( \widehat{NM,CM} \right)={{30}^{o}}$
Ta có: $d\left( A'B,CM \right)=d\left( A'B,\left( CMN \right) \right)=d\left( B,\left( CMN \right) \right)=a$
Khi đó: ${{V}_{B.CMN}}=\dfrac{1}{3}d\left( B,\left( CMN \right) \right).{{S}_{CMN}}=\dfrac{1}{3}a.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}\left( * \right)$
Ta có: ${{S}_{BMN}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{BNB'}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{A'BB'}}\Rightarrow {{V}_{B.CMN}}={{V}_{C.BMN}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{C.A'BB'}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}.{{V}_{ABC.A'B'C'}}$
$\Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}=12{{V}_{B.CMN}}=12.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}=2\sqrt{2}{{a}^{3}}$
Chú ý: Với khối lăng trụ tam giác có thể tích V nếu lấy 4 đỉnh bất kì từ 6 đỉnh (để tạo thành tứ diện) thì thể tích ${{V}_{\left( 4 \right)}}=\dfrac{V}{3}$, nếu lấy 5 điểm bất kì tạo thành khối đa diện có thể tích ${{V}_{\left( 5 \right)}}=\dfrac{2V}{3}$
Suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& MN=\dfrac{AB}{2}=2a \\
& \widehat{\left( A'B,CM \right)}=\widehat{\left( NM,CM \right)}={{30}^{o}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{S}_{CMN}}=\dfrac{1}{2}MN.CM.\sin \left( \widehat{NM,CM} \right)={{30}^{o}}$
Ta có: $d\left( A'B,CM \right)=d\left( A'B,\left( CMN \right) \right)=d\left( B,\left( CMN \right) \right)=a$
Khi đó: ${{V}_{B.CMN}}=\dfrac{1}{3}d\left( B,\left( CMN \right) \right).{{S}_{CMN}}=\dfrac{1}{3}a.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}\left( * \right)$
Ta có: ${{S}_{BMN}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{BNB'}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{A'BB'}}\Rightarrow {{V}_{B.CMN}}={{V}_{C.BMN}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{C.A'BB'}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}.{{V}_{ABC.A'B'C'}}$
$\Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}=12{{V}_{B.CMN}}=12.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}=2\sqrt{2}{{a}^{3}}$
Chú ý: Với khối lăng trụ tam giác có thể tích V nếu lấy 4 đỉnh bất kì từ 6 đỉnh (để tạo thành tứ diện) thì thể tích ${{V}_{\left( 4 \right)}}=\dfrac{V}{3}$, nếu lấy 5 điểm bất kì tạo thành khối đa diện có thể tích ${{V}_{\left( 5 \right)}}=\dfrac{2V}{3}$
Đáp án A.