Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$, khoảng cách từ C đến $B{B}'$ là $\sqrt{5}$, khoảng cách từ A đến $B{B}'$ và $C{C}'$ lần lượt là 1; 2. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ${A}'{B}'{C}'$ là trung điểm M của ${B}'{C}'$, ${A}'M=\dfrac{\sqrt{15}}{3}$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. $\dfrac{\sqrt{15}}{3}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$.
C. $\sqrt{5}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$.
A. $\dfrac{\sqrt{15}}{3}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$.
C. $\sqrt{5}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$.
Định hướng giải.
Để cho chiều cao $h={A}'M=\dfrac{\sqrt{15}}{3}$, cần tính thêm ${{S}_{ABC}}=\dfrac{{{S}_{AIK}}}{\cos \left( \left( ABC \right),\left( AIK \right) \right)}$
Kẻ $AI\bot B{B}'$, $AK\bot C{C}'$ (hình vẽ) để xác định khoảng cách, phát hiện:
- $IK\bot B{B}'\Rightarrow IK=d\left( C,B{B}' \right)=\sqrt{5}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{S}_{\Delta AIK}} \\
& \widehat{KAI}=90{}^\circ \\
\end{aligned} \right.$
- $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot \left( ABC \right) \\
& EF\bot \left( AIK \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \cos \left( \left( ABC \right),\left( AIK \right) \right)=\cos \left( AM,EF \right)=\cos \widehat{AMF}=\cos \widehat{FAE}$
Kẻ $AI\bot B{B}'$, $AK\bot C{C}'$ (hình vẽ). Khoảng cách từ A đến $B{B}'$ và $C{C}'$ lần lượt là 1; 2 $\Rightarrow AI=1$, $AK=2$.
Gọi F là trung điểm của $BC.{A}'M=\dfrac{\sqrt{15}}{3}$
$\Rightarrow AK=\dfrac{\sqrt{15}}{3}$. Ta có $\left. \begin{aligned}
& AI\bot B{B}' \\
& B{B}'\bot AK \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow B{B}'\bot \left( AIK \right)$
$\Rightarrow BB\bot IK$.
Vì $C{C}'||B{B}'\Rightarrow d\left( C,B{B}' \right)=d\left( K,B{B}' \right)=IK=\sqrt{5}$
$\Rightarrow \Delta AIK$ vuông tại A.
Gọi E là trung điểm của IK $\Rightarrow EF||B{B}'\Rightarrow EF\bot \left( AIK \right)\Rightarrow EF\bot AE$.
Lại có $AM\bot \left( ABC \right)$. Do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( AIK \right)$ là góc giữa EF và AM bằng góc $\widehat{AME}=\widehat{FAE}$. Ta có $\cos \widehat{FAE}=\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{5}}{2}}{\dfrac{\sqrt{15}}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{FAE}=30{}^\circ $
Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng $\left( AIK \right)$ là $\Delta AIK$ nên ta có:
${{S}_{AIK}}={{S}_{ABC}}\cos \widehat{EAK}\Rightarrow 1={{S}_{ABC}}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \dfrac{2}{\sqrt{3}}={{S}_{ABC}}$. Xét $\Delta AIK$ vuông tại A:
$\tan \widehat{AMF}=\dfrac{AF}{AM}\Rightarrow AM=\dfrac{\dfrac{\sqrt{15}}{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}\Rightarrow AM=\sqrt{5}$. Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\sqrt{5}.\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$.
Để cho chiều cao $h={A}'M=\dfrac{\sqrt{15}}{3}$, cần tính thêm ${{S}_{ABC}}=\dfrac{{{S}_{AIK}}}{\cos \left( \left( ABC \right),\left( AIK \right) \right)}$
Kẻ $AI\bot B{B}'$, $AK\bot C{C}'$ (hình vẽ) để xác định khoảng cách, phát hiện:
- $IK\bot B{B}'\Rightarrow IK=d\left( C,B{B}' \right)=\sqrt{5}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{S}_{\Delta AIK}} \\
& \widehat{KAI}=90{}^\circ \\
\end{aligned} \right.$
- $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot \left( ABC \right) \\
& EF\bot \left( AIK \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \cos \left( \left( ABC \right),\left( AIK \right) \right)=\cos \left( AM,EF \right)=\cos \widehat{AMF}=\cos \widehat{FAE}$
Kẻ $AI\bot B{B}'$, $AK\bot C{C}'$ (hình vẽ). Khoảng cách từ A đến $B{B}'$ và $C{C}'$ lần lượt là 1; 2 $\Rightarrow AI=1$, $AK=2$.
Gọi F là trung điểm của $BC.{A}'M=\dfrac{\sqrt{15}}{3}$
$\Rightarrow AK=\dfrac{\sqrt{15}}{3}$. Ta có $\left. \begin{aligned}
& AI\bot B{B}' \\
& B{B}'\bot AK \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow B{B}'\bot \left( AIK \right)$
$\Rightarrow BB\bot IK$.
Vì $C{C}'||B{B}'\Rightarrow d\left( C,B{B}' \right)=d\left( K,B{B}' \right)=IK=\sqrt{5}$
$\Rightarrow \Delta AIK$ vuông tại A.
Gọi E là trung điểm của IK $\Rightarrow EF||B{B}'\Rightarrow EF\bot \left( AIK \right)\Rightarrow EF\bot AE$.
Lại có $AM\bot \left( ABC \right)$. Do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( AIK \right)$ là góc giữa EF và AM bằng góc $\widehat{AME}=\widehat{FAE}$. Ta có $\cos \widehat{FAE}=\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{5}}{2}}{\dfrac{\sqrt{15}}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{FAE}=30{}^\circ $
Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng $\left( AIK \right)$ là $\Delta AIK$ nên ta có:
${{S}_{AIK}}={{S}_{ABC}}\cos \widehat{EAK}\Rightarrow 1={{S}_{ABC}}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \dfrac{2}{\sqrt{3}}={{S}_{ABC}}$. Xét $\Delta AIK$ vuông tại A:
$\tan \widehat{AMF}=\dfrac{AF}{AM}\Rightarrow AM=\dfrac{\dfrac{\sqrt{15}}{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}\Rightarrow AM=\sqrt{5}$. Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\sqrt{5}.\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$.
Đáp án D.