Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$. Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng $\left( {A}'MN \right)$ chia khối lăng trụ thành hai phần. Tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của chúng bằng
A. $\dfrac{2}{3}$
B. $\dfrac{4}{23}$
C. $\dfrac{4}{9}$
D. $\dfrac{4}{27}$
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi E là trung điểm của $BC\Rightarrow \dfrac{AG}{A\text{E}}=\dfrac{2}{3}$.
Đường thẳng d đi qua G và song song BC, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N.
$\Rightarrow \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AG}{A\text{E}}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AM=\dfrac{2}{3}AB \\
& AN=\dfrac{2}{3}AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{S}_{\Delta AMN}}=\dfrac{4}{9}{{S}_{\Delta ABC}}$.(1)
Ta có ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.A{A}'$ và ${{V}_{{A}'.AMN}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta AMN}}.A{A}'$.(2)
Từ (1) và (2), suy ra ${{V}_{{A}'.AMN}}=\dfrac{4}{27}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}\Rightarrow {{V}_{BMNC{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{23}{27}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$.
Khi đó tỉ số: $\dfrac{{{V}_{{A}'.AMN}}}{{{V}_{BMNC.{A}'{B}'{C}'}}}=\dfrac{\dfrac{4}{27}}{\dfrac{23}{27}}=\dfrac{4}{23}$.
A. $\dfrac{2}{3}$
B. $\dfrac{4}{23}$
C. $\dfrac{4}{9}$
D. $\dfrac{4}{27}$
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi E là trung điểm của $BC\Rightarrow \dfrac{AG}{A\text{E}}=\dfrac{2}{3}$.
Đường thẳng d đi qua G và song song BC, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N.
$\Rightarrow \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AG}{A\text{E}}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AM=\dfrac{2}{3}AB \\
& AN=\dfrac{2}{3}AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{S}_{\Delta AMN}}=\dfrac{4}{9}{{S}_{\Delta ABC}}$.(1)
Ta có ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.A{A}'$ và ${{V}_{{A}'.AMN}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta AMN}}.A{A}'$.(2)
Từ (1) và (2), suy ra ${{V}_{{A}'.AMN}}=\dfrac{4}{27}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}\Rightarrow {{V}_{BMNC{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{23}{27}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$.
Khi đó tỉ số: $\dfrac{{{V}_{{A}'.AMN}}}{{{V}_{BMNC.{A}'{B}'{C}'}}}=\dfrac{\dfrac{4}{27}}{\dfrac{23}{27}}=\dfrac{4}{23}$.
Đáp án B.